Какой минимальный объем конуса, в который вписан шар радиусом

Винтик

17

Для решения данной задачи, нам потребуется знание формулы объема конуса и шара.

Объем конуса можно вычислить с помощью формулы:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{основания}}^2 h ,\]

где \( r_{\text{основания}} \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

Объем шара можно вычислить с помощью формулы:

\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 ,\]

где \( r \) - радиус шара.

Для того чтобы определить минимальный объем конуса, в который вписан шар, нам необходимо найти минимальное значение радиуса основания конуса, так как объем конуса зависит от радиуса основания.

Для начала, найдем радиус основания \( r_{\text{основания}} \) конуса, при котором шар будет вписываться в него. Заметим, что радиус шара и радиус его вписанного конуса образуют прямую, перпендикулярную к плоскости основания конуса.

Таким образом, радиус основания конуса и радиус шара являются радиусами вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника, образованного радиусами. Поэтому, радиус основания конуса будет равен половине диаметра шара.

Получаем: \( r_{\text{основания}} = \frac{r}{2} \).

Теперь, подставляя полученное значение радиуса основания конуса в формулу объема конуса, получаем:

\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 h = \frac{\pi r^2 h}{12} .\]

Таким образом, минимальный объем конуса, в который вписан шар с радиусом \( r \), равен \(\frac{\pi r^3}{6}\).

Ответ: Минимальный объем конуса, в который вписан шар радиусом \( r \), равен \(\frac{\pi r^3}{6}\).