Какой многочлен четвёртой степени можно записать, если его корнями являются следующие числа: 1) -2, 0, 2, 3; 2

Romanovich

6

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

Чтобы записать многочлен, зная его корни, мы можем использовать формулу факторизации. Формула факторизации гласит, что если \(x = a\) является корнем многочлена, то \(x - a\) является одним из его множителей.

Итак, давайте решим задачу по порядку:

1) Корнями многочлена являются -2, 0, 2 и 3. Чтобы найти многочлен, умножим множители, соответствующие этим корням. Поэтому многочлен будет иметь вид:

\[
(x - (-2))(x - 0)(x - 2)(x - 3)
\]

Выполняя простые арифметические операции внутри скобок, получим:

\[
(x + 2)(x - 0)(x - 2)(x - 3)
\]

Теперь можно раскрыть скобки и упростить это выражение. Раскроем первую пару скобок:

\[
(x+2)(x-0) = x^2 + 2x
\]

Теперь раскроем следующую пару скобок:

\[
(x^2 + 2x)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x = x^3 - 4x
\]

И, наконец, раскроем последнюю пару скобок:

\[
(x^3 - 4x)(x - 3) = x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x = x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x
\]

Таким образом, многочлен четвёртой степени, корнями которого являются -2, 0, 2 и 3, записывается как \(x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x\).

2) Повторим этот процесс для второго набора корней: -3, -1, 1 и 3. Итак, многочлен будет иметь вид:

\[
(x - (-3))(x - (-1))(x - 1)(x - 3)
\]

Упрощая это выражение, получим:

\[
(x + 3)(x + 1)(x - 1)(x - 3)
\]

Раскроем скобки:

\[
(x + 3)(x + 1) = x^2 + 4x + 3
\]
\[
(x^2 + 4x + 3)(x - 1) = x^3 + 4x^2 + 3x - x^2 - 4x - 3 = x^3 + 3x^2 - x - 3
\]
\[
(x^3 + 3x^2 - x - 3)(x - 3) = x^4 - 3x^3 + 3x^3 - 9x^2 - x^2 + 3x + 3x - 9 = x^4 - 10x^2 + 6x - 9
\]

Таким образом, многочлен четвёртой степени, корнями которого являются -3, -1, 1 и 3, записывается как \(x^4 - 10x^2 + 6x - 9\).

3) Продолжим с третьим набором корней: -3, -1, 0 и 3. По аналогии, многочлен будет иметь вид:

\[
(x - (-3))(x - (-1))(x - 0)(x - 3)
\]

Упрощая это выражение, получим:

\[
(x + 3)(x + 1)(x - 0)(x - 3)
\]

Раскроем скобки:

\[
(x + 3)(x + 1) = x^2 + 4x + 3
\]
\[
(x^2 + 4x + 3)(x - 0) = x^3 + 4x^2 + 3x - 3x^2 - 12x - 9 = x^3 + x^2 - 9x - 9
\]
\[
(x^3 + x^2 - 9x - 9)(x - 3) = x^4 - 3x^3 + x^3 - 3x^2 + x^2 - 9x - 9x + 27 = x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 18x + 27
\]

Таким образом, многочлен четвёртой степени, корнями которого являются -3, -1, 0 и 3, записывается как \(x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 18x + 27\).

4) Наконец, рассмотрим четвёртый набор корней: -3, 0, 4 и 5. Многочлен будет иметь вид:

\[
(x - (-3))(x - 0)(x - 4)(x - 5)
\]

Упрощая это выражение, получим:

\[
(x + 3)(x - 0)(x - 4)(x - 5)
\]

Раскроем скобки:

\[
(x + 3)(x - 0) = x^2 + 3x
\]
\[
(x^2 + 3x)(x - 4) = x^3 - 4x^2 + 3x^2 - 12x = x^3 - x^2 - 12x
\]
\[
(x^3 - x^2 - 12x)(x - 5) = x^4 - 5x^3 - x^3 + 5x^2 - 12x^2 + 60x = x^4 - 6x^3 - 7x^2 + 60x
\]

Таким образом, многочлен четвёртой степени, корнями которого являются -3, 0, 4 и 5, записывается как \(x^4 - 6x^3 - 7x^2 + 60x\).

Если у вас возникнут ещё вопросы, буду рад помочь!