Какие интервалы можно определить для выпуклости вверх (вниз) графика функции y=5x - sin2x?

Загадочный_Эльф

60

Для определения интервалов выпуклости вверх или вниз графика функции \(y = 5x - \sin^2 x\), мы должны проанализировать вторую производную этой функции.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y = 5x - \sin^2 x\). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности.

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(5x - \sin^2 x)
\]

Производная по \(x\) от постоянного члена 5x будет равна 5.

Производная по \(x\) от \(\sin^2 x\) может быть найдена посредством цепного правила. По цепному правилу, производная \(\sin^2 x\) равна

\[
2 \sin x \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x
\]

Таким образом, первая производная будет выглядеть так:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 5 - 2 \sin x \cos x
\]

Шаг 2: Найдем вторую производную функции, возьмем производную первой производной по \(x\).

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}}(5 - 2 \sin x \cos x)
\]

Первая производная постоянного члена 5 будет равна 0, так как производная постоянной равна 0.

Производная \(-2 \sin x \cos x\) может быть найдена снова с помощью цепного правила. По цепному правилу:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(-2 \sin x \cos x) = -2(\cos^2 x - \sin^2 x)
\]

Мы знаем, что \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x\), поэтому:

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = -2 \cos 2x
\]

Шаг 3: Определим, когда вторая производная отрицательна (выпуклость вниз) и когда она положительна (выпуклость вверх).

\[
-2 \cos 2x > 0 \quad \text{Выпуклость вверх}
\]

Чтобы найти интервалы, где выпуклость вверх, мы решим данное неравенство.

Делим обе части неравенства на -2, не забывая изменить направление неравенства на противоположное:

\[
\cos 2x < 0
\]

Мы знаем, что \(\cos x\) принимает значения от -1 до 1. Так как 2x находится внутри функции косинуса, мы должны найти интервалы, где \(\cos 2x\) отрицательно. Это происходит, когда \(\frac{\pi}{4} < 2x < \frac{7\pi}{4}\) и \(\frac{5\pi}{4} < 2x < \frac{9\pi}{4}\).

Теперь разделим эти интервалы на \(x\) и найдем:

\[
\frac{\pi}{8} < x < \frac{7\pi}{8}, \quad \frac{5\pi}{8} < x < \frac{9\pi}{8}
\]

Итак, интервалы, при которых график функции \(y = 5x - \sin^2 x\) выпуклый вверх, это \(\left(\frac{\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right)\) и \(\left(\frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}\right)\).

Опять получаем, что одинаковые интервалы с разных частей предложения теперь выделены жирным, чтобы была нагляднее для чтения.

Пожалуйста, дайте мне знать, если есть что-то еще, с чем я могу вам помочь!