Сколько апельсинов было на самом деле в магазине? Они планировали разложить в упаковки по 9 штук, но остались с двумя

Tarantul

36

Давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что в начале в магазине было \(x\) апельсинов.

В соответствии с условием, планировалось разложить апельсины в упаковки по 9 штук каждая, но осталось 2 лишних апельсина. То есть, мы можем записать это уравнение:

\[x \equiv 2 \pmod{9}\]

Здесь знак "\(\equiv\)" означает "сравнимо по модулю".

Далее, продавец взял один апельсин для витрины и разложил остальные апельсины в упаковки по 8 штук каждая. Было замечено, что при таком разложении не осталось лишних апельсинов. То есть, у нас появляется еще одно уравнение:

\[x - 1 \equiv 0 \pmod{8}\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений с целью найти значение переменной \(x\).

Сравнивая первое и второе уравнения, можем заметить, что \(x \equiv 2 \pmod{9}\) и \(x - 1 \equiv 0 \pmod{8}\). Значит, можно записать следующее уравнение:

\[x - 1 = 8 \cdot k\]

где \(k\) - некоторое целое число. Мы используем модифицированную форму \(x - 1\) вместо \(x\), чтобы получить кратное 8 число.

Теперь, подставляя значение \(x - 1 = 8k\) в первое уравнение, получим:

\[8k + 1 \equiv 2 \pmod{9}\]

Для упрощения расчетов, заметим, что \(8k \equiv -1 \pmod{9}\).

Теперь давайте рассмотрим возможные значения \(k\). Подставив значения от 0 до 9, найдем, при каком значении \(k\) выполнено условие.

При \(k = 1\) получаем: \(8 \cdot 1 \equiv -1 \pmod{9}\) - это выполнено.

При \(k = 2\) получаем: \(8 \cdot 2 \equiv -2 \pmod{9}\) - это НЕ выполнено.

Видим, что при \(k = 1\) выполняются оба уравнения. Это подтверждает, что в начале в магазине было \(x = 8 \cdot 1 + 1 = 9\) апельсинов.

Ответ: В магазине было 9 апельсинов в начале.