Какой наименьший корень уравнения получится, если решить уравнение lg(x-2)tgx=tgx и удовлетворить неравенству

Тимофей

10

Для начала решим уравнение \(lg(x-2)tgx=tgx\):

1. Преобразуем тангенс в синус и косинус: \(lg(x-2)\frac{{sinx}}{{cosx}} = \frac{{sinx}}{{cosx}}\).
2. Умножим обе части уравнения на \(cosx\), чтобы избавиться от знаменателя: \(lg(x-2)sinx = sinx\cdot cosx\).
3. Теперь, если \(sinx = 0\), то левая и правая части равны нулю и уравнение имеет бесконечное количество решений. Рассмотрим случай, когда \(sinx \neq 0\).
4. Разделим обе части уравнения на \(sinx\): \(lg(x-2) = cosx\).
5. Теперь рассмотрим два случая: \(sinx > 0\) и \(sinx < 0\).
a. Если \(sinx > 0\), то \(cosx > 0\) (т.к. синус и косинус имеют одинаковые знаки в первом и втором квадрантах). В этом случае получаем уравнение \(lg(x-2) = cosx > 0\) и является возможным.
b. Если \(sinx < 0\), то \(cosx < 0\) (т.к. синус и косинус имеют разные знаки в третьем и четвертом квадрантах). В этом случае получаем уравнение \(lg(x-2) = cosx < 0\) и не имеет решений.

Таким образом, уравнение \(lg(x-2)tgx=tgx\) имеет решения только тогда, когда \(sinx > 0\) и \(cosx > 0\).

Теперь рассмотрим неравенство \(x^2-10x-24 > 0\):

1. Факторизуем левую часть неравенства: \((x+2)(x-12) > 0\).
2. Рассмотрим знаки множителей:
a. Если \((x+2) > 0\) и \((x-12) > 0\), то оба множителя положительны. В этом случае неравенство выполняется, но нас интересует первый положительный корень.
b. Если \((x+2) < 0\) и \((x-12) < 0\), то оба множителя отрицательны. В этом случае неравенство не выполняется.
c. Если \((x+2) > 0\) и \((x-12) < 0\), то первый множитель положителен, а второй отрицателен. В этом случае неравенство не выполняется.
d. Если \((x+2) < 0\) и \((x-12) > 0\), то первый множитель отрицателен, а второй положителен. В этом случае неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство \(x^2-10x-24 > 0\) выполняется, когда \(x < -2\) или \(x > 12\).

Итак, мы установили, что уравнение \(lg(x-2)tgx=tgx\) имеет решения только при условии, что \(sinx > 0\) и \(cosx > 0\), а неравенство \(x^2-10x-24 > 0\) выполняется, когда \(x < -2\) или \(x > 12\).

Чтобы найти наименьший корень, мы должны найти минимальное значение \(x\), которое удовлетворяет этим условиям. Наименьшее значение \(x\) будет равно -2, т.к. оно удовлетворяет условию \(x < -2\), \(sinx > 0\) и \(cosx > 0\).

Таким образом, наименьший корень этого уравнения будет \(x = -2\).