Какой номер орбиты занимает электрон в атоме водорода после поглощения фотона с энергией 12,1?

Skvoz_Volny

52

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу энергетических уровней электрона в атоме водорода:

\[E = -\frac{{13.6 \, \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

где \(E\) - энергия уровня, \(n\) - номер орбиты. Нам дано, что энергия фотона составляет 12,1 эВ.

Мы можем найти номер орбиты, подстановав полученное значение энергии фотона в формулу и решив уравнение относительно \(n\):

\[12.1 = -\frac{{13.6}}{{n^2}}\]

Для начала, давайте перенесем -13,6 на другую сторону уравнения:

\[\frac{{13.6}}{{n^2}} = -12.1\]

Затем возведем обе стороны уравнения в -1:

\[-\frac{{n^2}}{{13.6}} = \frac{1}{{12.1}}\]

Теперь найдем обратное значение каждой стороны уравнения:

\[\frac{{n^2}}{{13.6}} = \frac{1}{{-12.1}}\]

Упростим правую сторону:

\[\frac{{n^2}}{{13.6}} = -\frac{1}{{12.1}}\]

Возведем обе стороны уравнения в -1/2:

\[\left(\frac{{n^2}}{{13.6}}\right)^{-1/2} = \left(-\frac{1}{{12.1}}\right)^{-1/2}\]

Теперь раскроем степень -1/2 и воспользуемся правилом для отрицательной степени:

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{-12.1}}\]

Сократим корни:

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}}} = \frac{1}{i \sqrt{12.1}}\]

Упростим дробь на правой стороне уравнения, умножив исходное равенство на i:

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}}} \cdot i = \frac{i}{i \sqrt{12.1}}\]

Найдем общий знаменатель на правой стороне:

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}}} \cdot i = \frac{i \sqrt{12.1}}{i \cdot i \sqrt{12.1}}\]

Сократим корни с i:

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}}} \cdot i = \frac{\sqrt{12.1}}{\sqrt{12.1} \cdot i}\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}}\):

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}}} \cdot \sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}} \cdot i = \frac{\sqrt{12.1}}{\sqrt{12.1} \cdot i} \cdot \sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}}\]

Упростим корни:

\[\sqrt{\frac{{13.6}}{{n^2}} \cdot \frac{{n^2}}{{13.6}}} \cdot i = \frac{\sqrt{12.1} \cdot \sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}}}{\sqrt{12.1} \cdot i}\]

Теперь можем упростить уравнение:

\[1 = \frac{\sqrt{12.1} \cdot \sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}}}{\sqrt{12.1} \cdot i}\]

Сократим корни:

\[1 = \frac{\sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}}}{i}\]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[1^2 = \left(\frac{\sqrt{\frac{{n^2}}{{13.6}}}}{i}\right)^2\]

Упростим правую сторону:

\[1 = \frac{\frac{{n^2}}{{13.6}}}{(-1)^2}\]

Возведем -1 в квадрат:

\[1 = \frac{{n^2}}{{13.6}}\]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 13,6:

\[13.6 = n^2\]

Используя метод извлечения квадратного корня, найдем значение \(n\):

\[n = \sqrt{13.6}\]

Вычислим значение:

\[n \approx 3.68\]

Таким образом, номер орбиты, на которой находится электрон в атоме водорода после поглощения фотона с энергией 12,1 эВ, составляет около 3.68.