Какой объем фактора производства должен быть закуплен для достижения максимальной прибыли у монополиста с функцией

Анатолий_1755

60

Для решения данной задачи, нам необходимо найти оптимальное количество фактора производства (объем), при котором монополист получит максимальную прибыль.

Для начала, найдем функцию спроса \(q\) через цену \(p\). Дано, что функция спроса задана как \(p = 85 - 3q\). Чтобы найти функцию спроса \(q\) через цену \(p\), нужно выразить \(q\) через \(p\). Для этого решим эту уравнение относительно \(q\):

\[p = 85 - 3q\]
\[3q = 85 - p\]
\[q = \frac{85 - p}{3}\]

Теперь, у нас есть функция спроса \(q\) через цену \(p\). Далее, нам необходимо найти производственную функцию \(q\) через объем фактора \(f\). Задано, что производственная функция дана как \(q = 2f-2\).

Теперь у нас есть и функция спроса \(q\) через цену \(p\) и производственная функция \(q\) через объем фактора \(f\). Мы можем найти функцию спроса \(q\) через объем фактора \(f\) подстановкой производственной функции в функцию спроса:

\[q = \frac{85 - p}{3}\]
\[\frac{85 - p}{3} = 2f - 2\]

Теперь, необходимо найти значение цены \(p\), где максимизируется прибыль монополиста. Прибыль монополиста рассчитывается как разница между выручкой и затратами на фактор производства.

Выручка (R) рассчитывается как произведение цены (p) на количество продукции (q):

\[R = p \cdot q\]

Затраты (C) на фактор производства (f) определяются как произведение объема фактора на его цену:

\[C = f \cdot 5\]

Прибыль (П) монополиста равна разности между выручкой и затратами:

\[П = R - C\]

Теперь, у нас есть формулы для расчета выручки, затрат и прибыли монополиста. Наша цель - найти значение цены \(p\), при котором монополист получит максимальную прибыль.

Для этого мы должны найти производную прибыли по цене и приравнять ее к нулю, чтобы найти критическую точку:

\[\frac{dП}{dp} = \frac{d(R-C)}{dp} = \frac{d(p \cdot q - f \cdot 5)}{dp} = \frac{d((85p - p^2)/3 - (2f - 2) \cdot 5)}{dp}\]

Дифференцируя прибыль по цене \(p\), получим:

\[\frac{dП}{dp} = \frac{85 - 2p}{3}\]

Чтобы найти критические точки, приравниваем производную прибыли к нулю и решаем уравнение:

\[\frac{85 - 2p}{3} = 0\]
\(85 - 2p = 0\)
\(2p = 85\)
\(p = \frac{85}{2}\)
\(p = 42.5\)

Зная значение цены \(p\), которое даст максимальную прибыль, мы можем найти объем фактора производства (объем) \(f\) с помощью производственной функции:

\[q = 2f - 2\]
\(42.5 = 2f - 2\)
\(2f = 44.5\)
\(f = \frac{44.5}{2}\)
\(f = 22.25\)

Таким образом, монополисту необходимо закупить объем фактора производства (объем) равный 22.25, чтобы достичь максимальной прибыли.