Какой объём и площадь поверхности фигуры получается при вращении прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза

Moroz

31

Чтобы найти объем и площадь поверхности фигуры, образованной вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов, мы будем использовать интегральное исчисление.

Дано, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Пусть катет, вокруг которого будем вращать треугольник, имеет длину \(a\) см.

Представим треугольник на плоскости с координатной осью \(x\) и смещением его основания на ось \(y\) равным 0. Таким образом, мы можем представить прямоугольный треугольник как график функции \(f(x)\), где \(x\) находится в интервале [0, a].

Зная, что гипотенуза равна 13 см, мы можем использовать одну из тригонометрических функций для выражения высоты \(h\) треугольника через \(x\). В данном случае, используем синус:

\[
h = \frac{{13}}{{\sqrt{13^2 - x^2}}}
\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности фигуры, образованной вращением прямоугольного треугольника, мы должны найти элементарную площадь поверхности. Эта площадь равна \(2\pi y \sqrt{1 + (f"(x))^2} dx\), где \(y\) - это \(f(x)\), а \(f"(x)\) - первая производная функции \(f(x)\).

Давайте найдем производную \(f"(x)\):

\[
f"(x) = \frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{13x}}{{(13^2 - x^2)^\frac{{3}}{{2}}}}
\]

Теперь мы можем выразить площадь поверхности элементарного полосы:

\[
dS = 2\pi y \sqrt{1 + (f"(x))^2} dx
\]

Площадь поверхности фигуры, полученной вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, будет равна интегралу от \(dS\) от 0 до \(a\):

\[
S = \int_0^a 2\pi y \sqrt{1 + (f"(x))^2} dx
\]

Теперь найдем объем. Объем фигуры, полученной вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, будет равен интегралу от \(\pi y^2 dx\) от 0 до \(a\):

\[
V = \pi \int_0^a y^2 dx
\]

Теперь у нас есть уравнения для вычисления объема и площади поверхности фигуры. Мы можем вычислить их, используя интегралы, известные значения гипотенузы и \(a\).

Мы надеемся, что это пошаговое объяснение позволило вам лучше понять, как найти объем и площадь поверхности фигуры, образованной вращением прямоугольного треугольника вокруг оси. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.