Какой объем имеет цилиндр, в котором радиус основания уменьшен в 8 раз, а высота увеличена в 10 раз, если исходный

Raduzhnyy_List

37

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы объема цилиндра. Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

Мы знаем, что исходный объем цилиндра составляет 576 см^3. Мы также знаем, что радиус основания уменьшен в 8 раз, а высота увеличена в 10 раз.

Обозначим \(\bar{r}\) - новый радиус основания цилиндра, а \(\bar{h}\) - новая высота цилиндра.

Из условия задачи нам дано, что:

\(\bar{r} = \frac{1}{8} \cdot r\)

\(\bar{h} = 10 \cdot h\)

Наша задача - найти новый объем цилиндра. Для этого мы подставим значения \(\bar{r}\) и \(\bar{h}\) в формулу объема цилиндра:

\[\bar{V} = \pi \left(\frac{1}{8} \cdot r\right)^2 \cdot (10 \cdot h)\]

Упрощая выражение в скобках, получим:

\[\bar{V} = \pi \left(\frac{r^2}{8^2}\right) \cdot (10 \cdot h)\]

После упрощения всего выражения, получаем:

\[\bar{V} = \frac{1}{64} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 10 \cdot h\]

Мы знаем, что исходный объем цилиндра равен 576 см^3. Подставим это значение и найдем новый объем:

\[\frac{1}{64} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot 10 \cdot h = 576\]

Для удобства дальнейших вычислений упростим уравнение:

\[\frac{1}{64} \cdot 10 = \frac{576}{\pi \cdot r^2 \cdot h}\]

\[\frac{10}{64} = \frac{576}{\pi \cdot r^2 \cdot h}\]

Мы можем умножить правую и левую части уравнения на \(\pi \cdot r^2 \cdot h\) для избавления от знаменателя:

\[\frac{10 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h}{64} = 576\]

\[\pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{576 \cdot 64}{10}\]

Теперь мы можем рассчитать новый объем цилиндра:

\[\bar{V} = \frac{576 \cdot 64}{10}\]

\[\bar{V} = \frac{36864}{10}\]

\[\bar{V} = 3686.4\]

Ответ: новый объем цилиндра составляет 3686.4 см^3.