Які кути чотирикутника, якщо трі вписує їхніх кутів пропорційні числам 4,5 і 7, а четвертий кут дорівнює половині
Які кути чотирикутника, якщо трі вписує їхніх кутів пропорційні числам 4,5 і 7, а четвертий кут дорівнює половині їхньої суми? Чи є цей чотирикутник опуклим?
Zvezdnaya_Galaktika 15
Щоб розв"язати цю задачу, давайте спочатку знайдемо суму всіх трьох кутів, які вписані в цей чотирикутник. Оскільки трі стосуються виключно кутів цього чотирикутника, то їх сума має дорівнювати сумі всіх кутів цього чотирикутника, а тому:\(4x + 5x + 7x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) = 360\),
де \(x\) - це міра кута.
Спростивши вираз, отримаємо:
\(16x + \dfrac{26}{2}x = 360\),
\(16x + 13x = 360\),
\(29x = 360\),
\(x = \dfrac{360}{29}\).
Тепер, коли ми знаємо значення \(x\), можемо знайти міри кутів:
- Перший кут: \(4x = 4 \cdot \dfrac{360}{29}\)
- Другий кут: \(5x = 5 \cdot \dfrac{360}{29}\)
- Третій кут: \(7x = 7 \cdot \dfrac{360}{29}\)
- Четвертий кут: \(\dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x)\)
Замінюючи значення \(x\), отримуємо:
- Перший кут: \(4 \cdot \dfrac{360}{29}\) градусів
- Другий кут: \(5 \cdot \dfrac{360}{29}\) градусів
- Третій кут: \(7 \cdot \dfrac{360}{29}\) градусів
- Четвертий кут: \(\dfrac{1}{2}(4 \cdot \dfrac{360}{29} + 5 \cdot \dfrac{360}{29} + 7 \cdot \dfrac{360}{29})\) градусів
Обчисливши значення цих виразів, отримаємо міри кутів чотирикутника. Тепер застосуємо обмеження на опуклість чотирикутника:
Чотирикутник є опуклим, якщо сума будь-якого двох кутів менша за 180 градусів. Отже, перевіримо умову для всіх пар кутів в даному чотирикутнику:
- Перевірка для першої і другої пари кутів: \(4x + 5x < 180\) - умова виконується
- Перевірка для першої і третьої пари кутів: \(4x + 7x < 180\) - умова виконується
- Перевірка для першої і четвертої пари кутів: \(4x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) < 180\) - умова виконується
- Перевірка для другої і третьої пари кутів: \(5x + 7x < 180\) - умова виконується
- Перевірка для другої і четвертої пари кутів: \(5x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) < 180\) - умова виконується
- Перевірка для третьої і четвертої пари кутів: \(7x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) < 180\) - умова виконується
Таким чином, всі пари кутів цього чотирикутника задовольняють умову опуклості. Отже, можна стверджувати, що цей чотирикутник є опуклим.