Які кути чотирикутника, якщо трі вписує їхніх кутів пропорційні числам 4,5 і 7, а четвертий кут дорівнює половині

Zvezdnaya_Galaktika

15

Щоб розв"язати цю задачу, давайте спочатку знайдемо суму всіх трьох кутів, які вписані в цей чотирикутник. Оскільки трі стосуються виключно кутів цього чотирикутника, то їх сума має дорівнювати сумі всіх кутів цього чотирикутника, а тому:

\(4x + 5x + 7x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) = 360\),

де \(x\) - це міра кута.

Спростивши вираз, отримаємо:

\(16x + \dfrac{26}{2}x = 360\),

\(16x + 13x = 360\),

\(29x = 360\),

\(x = \dfrac{360}{29}\).

Тепер, коли ми знаємо значення \(x\), можемо знайти міри кутів:

- Перший кут: \(4x = 4 \cdot \dfrac{360}{29}\)
- Другий кут: \(5x = 5 \cdot \dfrac{360}{29}\)
- Третій кут: \(7x = 7 \cdot \dfrac{360}{29}\)
- Четвертий кут: \(\dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x)\)

Замінюючи значення \(x\), отримуємо:

- Перший кут: \(4 \cdot \dfrac{360}{29}\) градусів
- Другий кут: \(5 \cdot \dfrac{360}{29}\) градусів
- Третій кут: \(7 \cdot \dfrac{360}{29}\) градусів
- Четвертий кут: \(\dfrac{1}{2}(4 \cdot \dfrac{360}{29} + 5 \cdot \dfrac{360}{29} + 7 \cdot \dfrac{360}{29})\) градусів

Обчисливши значення цих виразів, отримаємо міри кутів чотирикутника. Тепер застосуємо обмеження на опуклість чотирикутника:

Чотирикутник є опуклим, якщо сума будь-якого двох кутів менша за 180 градусів. Отже, перевіримо умову для всіх пар кутів в даному чотирикутнику:

- Перевірка для першої і другої пари кутів: \(4x + 5x < 180\) - умова виконується
- Перевірка для першої і третьої пари кутів: \(4x + 7x < 180\) - умова виконується
- Перевірка для першої і четвертої пари кутів: \(4x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) < 180\) - умова виконується
- Перевірка для другої і третьої пари кутів: \(5x + 7x < 180\) - умова виконується
- Перевірка для другої і четвертої пари кутів: \(5x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) < 180\) - умова виконується
- Перевірка для третьої і четвертої пари кутів: \(7x + \dfrac{1}{2}(4x + 5x + 7x) < 180\) - умова виконується

Таким чином, всі пари кутів цього чотирикутника задовольняють умову опуклості. Отже, можна стверджувати, що цей чотирикутник є опуклим.