Какой объем имеет цилиндр, вокруг которого описан куб с объемом 1000 см3?

Kosmos

3

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен.

Предположим, что цилиндр, описанный вокруг куба, имеет высоту \(h\) и радиус основания \(r\). Нам дано, что объем куба равен 1000 см³. Так как объем куба равен сумме объемов всех шести его граней, то можно записать следующее уравнение:

\[1000 = 6s^3\]

где \(s\) - длина стороны куба.

Чтобы выразить радиус \(r\) и высоту \(h\) цилиндра через длину стороны \(s\), мы можем использовать соотношение между диаметром и стороной куба. В кубе диаметр цилиндра равен длине стороны \(s\), так как он описывает весь куб.

Таким образом, диаметр цилиндра равен \(d = s\). Но нужно выразить радиус цилиндра \(r\), а не диаметр. Для этого воспользуемся формулой для радиуса и диаметра:

\[d = 2r\]

Подставим значение \(d = s\) и решим уравнение относительно \(r\):

\[s = 2r\]

\[r = \frac{s}{2}\]

Теперь, когда у нас есть выражение для радиуса цилиндра через длину стороны \(s\), мы можем перейти к нахождению объема цилиндра.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

Подставим значение радиуса \(r = \frac{s}{2}\):

\[V = \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2 h\]

Теперь нам нужно найти выражение для высоты \(h\). Мы знаем, что объем куба равен 1000 см³. Значит:

\[1000 = \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2 h\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно высоты \(h\). Давайте найдем ее:

\[h = \frac{1000}{\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2}\]

Таким образом, объем цилиндра с заданными условиями равен:

\[V = \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2 \cdot \frac{1000}{\pi \left(\frac{s}{2}\right)^2} = 1000 \, \text{см³}\]

Получается, что объем цилиндра равен 1000 см³.

Надеюсь, этот пошаговый ответ позволил вам лучше понять, как найти объем цилиндра, описанного вокруг данного куба.