Какое произведение координат точки делит отрезок MN в отношении 2:5, если M имеет координаты (1; 7; 6) и N имеет

Yarmarka_3135

8

Для начала, давайте определим расстояние между точками M и N в трехмерном пространстве.

Формула для расстояния между двумя точками P(x₁, y₁, z₁) и Q(x₂, y₂, z₂) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2 + (z₂ - z₁)^2}\]

В данном случае, M имеет координаты (1, 7, 6), а N имеет координаты (1, 2, 9). Подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 7)^2 + (9 - 6)^2}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[d = \sqrt{0 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34}\]

Теперь, нам нужно найти произведение координат точки, которое делит отрезок MN в отношении 2:5.

Пусть точка P(x, y, z) делит отрезок MN в данном отношении. Тогда

\[\frac{MP}{PN} = \frac{2}{5}\]

Мы можем использовать формулу для нахождения координат точки P, используя данное отношение:

\[x = \frac{2x_N + 5x_M}{7}\]
\[y = \frac{2y_N + 5y_M}{7}\]
\[z = \frac{2z_N + 5z_M}{7}\]

Подставим значения координат точек M и N:

\[x = \frac{2 \cdot 1 + 5 \cdot 1}{7} = \frac{2 + 5}{7} = \frac{7}{7} = 1\]
\[y = \frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot 7}{7} = \frac{4 + 35}{7} = \frac{39}{7}\]
\[z = \frac{2 \cdot 9 + 5 \cdot 6}{7} = \frac{18 + 30}{7} = \frac{48}{7}\]

Таким образом, координаты точки P равны (1, 39/7, 48/7). Ответом на задачу является произведение координат этой точки:

\[(x_P \cdot y_P \cdot z_P) = (1 \cdot \frac{39}{7} \cdot \frac{48}{7}) = \frac{39 \cdot 48}{7 \cdot 7} = \frac{1872}{49}\]

Следовательно, произведение координат точки P, которое делит отрезок MN в отношении 2:5, равно \(\frac{1872}{49}\).