Какой объем имеет цилиндр, вписанный в данную правильную шестиугольную призму, если объем описанного цилиндра равен

Ledyanoy_Volk_4414

13

Для решения этой задачи нам понадобится некоторое знание о геометрии и формулах для объемов фигур.

Когда мы говорим о правильной шестиугольной призме, это означает, что база призмы является правильным шестиугольником (шестиугольником со сторонами одинаковой длины и углами одинаковой величины).

Известно, что объем описанного цилиндра равен 10π. Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = π * r^2 * h, где V - объем, r - радиус основания цилиндра, а h - высота цилиндра.

Чтобы найти объем вписанного цилиндра, нам нужно знать радиус и высоту этого цилиндра.

Рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в эту призму. Установим масштаб хорошей координатной сетки для наглядности. Очень важно заметить, что при таком положении шестиугольника все его стороны проходят через центр призмы и делят его на 6 равных равносторонних треугольников. У каждого из этих треугольников будет высота -- это расстояние от середины стороны до центра призмы. Найдем эту высоту.

Рассмотрим одну из сторон шестиугольника. Она разделяет соседние вершины на две равные части. Таким образом, если мы соединим вершину правильного шестиугольника со стороной, мы получим прямоугольный треугольник. В данном случае, половина стороны шестиугольника будет являться катетом этого треугольника, а высота цилиндра - гипотенузой треугольника.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник. Мы знаем, что его площадь будет половиной произведения катетов (S = 0.5 * a * b) и, также, высота гипотенузы равна половине гипотенузы этого треугольника. Отметим, что гипотенуза треугольника - это сторона шестиугольника, а сторона шестиугольника равна a.

Мы можем записать это следующим образом: \(\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{2}\), где а - сторона правильного шестиугольника.

Теперь рассмотрим правильный треугольник, образованный осями координат и отрезком, соединяющим середину одной из сторон шестиугольника с центром. Такой треугольник будет прямоугольным, с горизонтальной стороной длиной \(a/2\) и вертикальной - равной высоте цилиндра. По той же формуле площади прямоугольного треугольника получим:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h = \frac{1}{4}ah\).

Теперь, когда у нас есть площадь горизонтального прямоугольного треугольника, мы можем найти объем описанного цилиндра. Поскольку цилиндр описан вокруг этого треугольника, мы знаем, что его объем равен указанному нами значению 10π. Подставим значения в формулу объема цилиндра и решим уравнение:

\(\pi \cdot \frac{a^2}{4}\cdot h = 10\pi\)

Делая простое алгебраическое преобразование и сокращая коэффициенты π, получаем:

\(\frac{a^2}{4} \cdot h = 10\)

Теперь, для того чтобы решить задачу, важно знать дополнительную информацию о базе призмы. Если известно, что сторона шестиугольника равна 2, мы можем найти значения h и a.

Для начала, заметим, что сторона шестиугольника, равная 2, является радиусом вписанного цилиндра. Затем, мы можем подставить эти значения в уравнение и решить его:

\(\frac{(2)^2}{4} \cdot h = 10\)

\(h = \frac{10 \cdot 4}{2^2} = 10\)

Таким образом, высота цилиндра равна 10.

Теперь, найдем объем вписанного цилиндра, используя формулу \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\):

\(V = \pi \cdot 2^2 \cdot 10 = 40\pi\).

Ответ: объем цилиндра, вписанного в данную правильную шестиугольную призму, равен 40π.