Какой объём имеет правильная треугольная пирамида, если её высота составляет 4 см, а двугранный угол между боковой

Яна

24

Для решения данной задачи нам понадобится знание формулы для объёма пирамиды. Объём пирамиды можно вычислить, умножив площадь основания на высоту и разделив полученное произведение на 3.

Поскольку в задаче треугольная пирамида является правильной, основание у неё -- это равносторонний треугольник.

Первым шагом нам нужно вычислить площадь основания пирамиды. Для этого воспользуемся формулой для площади равностороннего треугольника, которая равна \( S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4} \), где \( a \) -- длина стороны треугольника.

Поскольку у нас нет информации о сторонах основания, нам нужно их вычислить. Для этого нам понадобится величина двугранного угла между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, которая в задаче равна 30°.

Поскольку треугольник равносторонний, углы при его вершинах также равны 60°. Поскольку двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 30°, у нас появляется правильный треугольник, у которого один из углов равен 30°.

Таким образом, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для определения стороны треугольника:

\[
\sin 30° = \frac{{a/2}}{{\text{{сторона основания}}}}
\]

Раскрывая это соотношение, получаем:

\[
\frac{1}{2} = \frac{{a/2}}{{\text{{сторона основания}}}}
\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[
a = \sqrt{3} \cdot \text{{сторона основания}}
\]

Таким образом, мы определили длину стороны основания треугольной пирамиды.

Далее, заметим, что высота треугольной пирамиды перпендикулярна основанию и проходит через его вершину. Воспользуемся этим фактом для определения высоты треугольной пирамиды.

Мы можем представить высоту \( h \) треугольной пирамиды в виде отрезка, соединяющего вершину основания с серединой противоположной стороны основания. Такой отрезок образует прямой угол с основанием и разделяет его на две равные части.

Используя свойства равностороннего треугольника, можно определить длину отрезка \( h \) (высоту пирамиды) в зависимости от стороны основания \( a \):

\[
h = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a
\]

Теперь, зная длину стороны основания \( a \) и высоту пирамиды \( h \), мы можем вычислить площадь основания треугольной пирамиды по формуле:

\[
S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

Подставляя значения длины стороны основания \( a = \sqrt{3} \cdot \text{{сторона основания}} \), получаем:

\[
S = \frac{{(\sqrt{3} \cdot \text{{сторона основания}})^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[
S = \frac{{3 \cdot \text{{сторона основания}}^2 \sqrt{3}}}{4}
\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды и её высота, мы можем вычислить объём пирамиды по формуле:

\[
V = \frac{{S \cdot h}}{3}
\]

Подставляя значения площади основания \( S = \frac{{3 \cdot \text{{сторона основания}}^2 \sqrt{3}}}{4} \) и высоты \( h = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot a \), получаем:

\[
V = \frac{{\frac{{3 \cdot \text{{сторона основания}}^2 \sqrt{3}}}{4} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot \text{{сторона основания}}}}{3}
\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[
V = \frac{{\text{{сторона основания}}^3}}{6}
\]

Теперь мы можем вычислить объём правильной треугольной пирамиды, подставив значение стороны основания и оценивая выражение:

\[
V = \frac{{(\sqrt{3} \cdot \text{{сторона основания}})^3}}{6}
\]

В нашем случае сторона основания равна 4 см (по условию задачи), поэтому:

\[
V = \frac{{(\sqrt{3} \cdot 4)^3}}{6}
\]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[
V = \frac{{48\sqrt{3}}}{6} = 8\sqrt{3} \approx 13.856 \, \text{{см}}^3
\]

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды с высотой 4 см и двугранным углом 30° составляет примерно 13.856 кубических сантиметров.