Какой объём имеет тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АС, если
Какой объём имеет тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АС, если гипотенуза АВ равна 6 см и угол А равен 300?
Геннадий_79 56
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом цилиндрического разреза. Прежде всего, нам необходимо найти длину отрезка, вокруг которого будет происходить вращение.Угол A равен 300 градусов, а длина гипотенузы АВ равна 6 см. Так как у нас прямоугольный треугольник, можно найти длину катета AC, используя тригонометрические соотношения.
\[ AC = AB \cdot \sin(\angle A) \]
\[ AC = 6 \cdot \sin(300^\circ) \]
Для упрощения расчётов, переведём градусы в радианы:
\[ \angle A = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{3} \]
Теперь вычислим синус угла A:
\[ \sin(\angle A) = \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \]
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]
Так как синус угла 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать:
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Теперь мы можем найти длину катета AC:
\[ AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \] см.
Теперь, когда у нас есть длина катета AC, мы можем найти объём фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника ABC вокруг катета AC.
Объём цилиндра можно найти с помощью формулы:
\[ V = \pi r^2h \]
где r - радиус основания цилиндра, а h - высота цилиндра.
В нашем случае, радиус основания цилиндра будет равен длине катета AC, а высота цилиндра будет равна длине гипотенузы AB.
\[ r = AC = 3\sqrt{3} \] см
\[ h = AB = 6 \] см
Теперь мы можем найти объём цилинда:
\[ V = \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 \cdot 6 \] см³
\[ V = 54\pi \] см³
Таким образом, объём тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АС, равен \(54\pi\) кубических сантиметра.