Какие значения имеют наименьшая высота и радиус описанной окружности для треугольника, у которого стороны равны

Magnitnyy_Marsianin

41

Для того чтобы найти наименьшую высоту и радиус описанной окружности треугольника, у которого стороны равны, нам нужно использовать свойства равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны. Если стороны равны между собой, то углы также будут равны.

Давайте обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\). Также в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.

Высота треугольника - это линия, опущенная из вершины на противоположную сторону и перпендикулярная этой стороне. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника. В этих треугольниках сторона \(a\) будет гипотенузой, а высота - это одна из сторон результирующего прямоугольного треугольника.

Применяя теорему Пифагора к одному из полученных прямоугольных треугольников, мы можем найти высоту. Пусть \(h\) - это высота треугольника, тогда применяя теорему Пифагора, получим:

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Упростим это уравнение:

\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]

Найдем общий знаменатель:

\[h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4}\]

Раскроем скобки:

\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]

Избавимся от знаменателя, извлечем квадратный корень и получим значение высоты треугольника:

\[h = \frac{\sqrt{3a^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}\]

Таким образом, значение наименьшей высоты для равностороннего треугольника равно \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\).

Теперь перейдем к радиусу описанной окружности треугольника.

Описанная окружность треугольника - это окружность, проходящая через все вершины треугольника. Радиус этой окружности связан с стороной треугольника и равностороннего треугольника свойством: радиус описанной окружности равен половине длины стороны равностороннего треугольника.

Таким образом, для треугольника со стороной \(a\) радиус описанной окружности будет равен \(\frac{a}{2}\).

Итак, наименьшая высота треугольника равно \(\frac{\sqrt{3}a}{2}\), а радиус описанной окружности равен \(\frac{a}{2}\).