Какой объем призмы, если вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник
Какой объем призмы, если вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом 30°, описан цилиндр с радиусом основания 20 см и диагональю большей боковой грани, образующей угол 60° с плоскостью основания призмы?
Gloriya 67
Для решения данной задачи рассмотрим каждую часть пошагово.Шаг 1: Найдем площадь основания прямоугольного треугольника.
Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:
Где
Для данного треугольника катеты равны:
Угол
Вычислим площадь основания треугольника:
Теперь найдем значение синуса 60°.
Подставим полученные значения в формулу площади треугольника:
Упростим выражение:
Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности треугольной призмы.
Зная площадь основания и ее периметр, мы можем найти площадь боковой поверхности прямоугольной призмы.
Периметр треугольника:
Где
Для данного треугольника длина гипотенузы равна:
Вычислим периметр треугольника:
Упростим выражение:
Площадь боковой поверхности призмы:
Где
Нам нужно найти высоту призмы, поэтому воспользуемся формулой для объема цилиндра:
Подставим в формулу известные значения:
Шаг 3: Найдем объем цилиндра.
Объем цилиндра может быть найден по формуле:
Подставим известные значения:
Для определения высоты цилиндра (
Шаг 4: Вычислим объем призмы.
Объем призмы может быть выражен через объем цилиндра с помощью соотношения:
Подставим известные значения и рассчитаем объем призмы:
Теперь остается только рассчитать
Деля обе части равенства на
После упрощения получим:
Таким образом, объем призмы (
Упростим выражение и получим ответ: