Какой объем призмы, если вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник

  • 13
Какой объем призмы, если вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом 30°, описан цилиндр с радиусом основания 20 см и диагональю большей боковой грани, образующей угол 60° с плоскостью основания призмы?
Gloriya
67
Для решения данной задачи рассмотрим каждую часть пошагово.

Шаг 1: Найдем площадь основания прямоугольного треугольника.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:
Str=12absin(γ)

Где a и b - катеты треугольника, а γ - угол между ними.

Для данного треугольника катеты равны:
a=20cm (радиус цилиндра)
b=203cm (диагональ боковой грани треугольной призмы)

Угол γ составляется между основанием треугольника и плоскостью основания призмы и равен 60°.

Вычислим площадь основания треугольника:
Str=1220cm203cmsin(60°)

Теперь найдем значение синуса 60°.
sin(60°)=32

Подставим полученные значения в формулу площади треугольника:
Str=1220cm203cm32

Упростим выражение:
Str=2003см2

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности треугольной призмы.

Зная площадь основания и ее периметр, мы можем найти площадь боковой поверхности прямоугольной призмы.

Периметр треугольника:
Ptr=a+b+c

Где c - гипотенуза треугольника.

Для данного треугольника длина гипотенузы равна:
c=203cm

Вычислим периметр треугольника:
Ptr=20cm+203cm+203cm

Упростим выражение:
Ptr=20cm+403cm

Площадь боковой поверхности призмы:
Sbp=Ptrhp

Где hp - высота призмы.

Нам нужно найти высоту призмы, поэтому воспользуемся формулой для объема цилиндра:
Vcyl=Sbphp

Подставим в формулу известные значения:
Vcyl=Sbphp=2003см2hp

Шаг 3: Найдем объем цилиндра.

Объем цилиндра может быть найден по формуле:
Vcyl=πrcyl2hcyl

Подставим известные значения:
Vcyl=π(20см)2hcyl

Для определения высоты цилиндра (hcyl) и в конечном итоге объема призмы (Vpr), нам нужно учесть отношение между объемами цилиндра и призмы.

Шаг 4: Вычислим объем призмы.

Объем призмы может быть выражен через объем цилиндра с помощью соотношения:
Vpr=12Vcyl

Подставим известные значения и рассчитаем объем призмы:
Vpr=12π(20см)2hcyl

Теперь остается только рассчитать hcyl, выразив его через hp:

12π(20см)2hcyl=2003см2hp

Деля обе части равенства на π(20см)2 получим:

hcyl=2003см2hp12(20см)2

После упрощения получим:

hcyl=103hp

Таким образом, объем призмы (Vpr) равен:

Vpr=12π(20см)2103hp

Упростим выражение и получим ответ:

Vpr=200π3(hpсм2)