Какой объем призмы, если вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник

Gloriya

67

Для решения данной задачи рассмотрим каждую часть пошагово.

Шаг 1: Найдем площадь основания прямоугольного треугольника.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:
$$S_{tr}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (\gamma )$$

Где $a$ и $b$ - катеты треугольника, а $\gamma$ - угол между ними.

Для данного треугольника катеты равны:
$a=20\text{cm}$ (радиус цилиндра)
$b=20\sqrt{3}\text{cm}$ (диагональ боковой грани треугольной призмы)

Угол $\gamma$ составляется между основанием треугольника и плоскостью основания призмы и равен 60°.

Вычислим площадь основания треугольника:
$$S_{tr}=\frac{1}{2}\cdot 20\text{cm}\cdot 20\sqrt{3}\text{cm}\cdot \sin (60°)$$

Теперь найдем значение синуса 60°.
$\sin (60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим полученные значения в формулу площади треугольника:
$$S_{tr}=\frac{1}{2}\cdot 20\text{cm}\cdot 20\sqrt{3}\text{cm}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Упростим выражение:
$$S_{tr}=200\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности треугольной призмы.

Зная площадь основания и ее периметр, мы можем найти площадь боковой поверхности прямоугольной призмы.

Периметр треугольника:
$$P_{tr}=a+b+c$$

Где $c$ - гипотенуза треугольника.

Для данного треугольника длина гипотенузы равна:
$$c=20\sqrt{3}\text{cm}$$

Вычислим периметр треугольника:
$$P_{tr}=20\text{cm}+20\sqrt{3}\text{cm}+20\sqrt{3}\text{cm}$$

Упростим выражение:
$$P_{tr}=20\text{cm}+40\sqrt{3}\text{cm}$$

Площадь боковой поверхности призмы:
$$S_{bp}=P_{tr}\cdot h_p$$

Где $h_p$ - высота призмы.

Нам нужно найти высоту призмы, поэтому воспользуемся формулой для объема цилиндра:
$$V_{cyl}=S_{bp}\cdot h_p$$

Подставим в формулу известные значения:
$$V_{cyl}=S_{bp}\cdot h_p=200\sqrt{3}{\text{см}}^2\cdot h_p$$

Шаг 3: Найдем объем цилиндра.

Объем цилиндра может быть найден по формуле:
$$V_{cyl}=\pi \cdot r_{cyl}^2\cdot h_{cyl}$$

Подставим известные значения:
$$V_{cyl}=\pi \cdot (20\text{см}{)}^2\cdot h_{cyl}$$

Для определения высоты цилиндра ($h_{cyl}$) и в конечном итоге объема призмы ($V_{pr}$), нам нужно учесть отношение между объемами цилиндра и призмы.

Шаг 4: Вычислим объем призмы.

Объем призмы может быть выражен через объем цилиндра с помощью соотношения:
$$V_{pr}=\frac{1}{2}\cdot V_{cyl}$$

Подставим известные значения и рассчитаем объем призмы:
$$V_{pr}=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot (20\text{см}{)}^2\cdot h_{cyl}$$

Теперь остается только рассчитать $h_{cyl}$, выразив его через $h_p$:

$$\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot (20\text{см}{)}^2\cdot h_{cyl}=200\sqrt{3}{\text{см}}^2\cdot h_p$$

Деля обе части равенства на $\pi \cdot (20\text{см}{)}^2$ получим:

$$h_{cyl}=\frac{200\sqrt{3}{\text{см}}^2\cdot h_p}{\frac{1}{2}\cdot (20\text{см}{)}^2}$$

После упрощения получим:

$$h_{cyl}=10\sqrt{3}\cdot h_p$$

Таким образом, объем призмы ($V_{pr}$) равен:

$$V_{pr}=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot (20\text{см}{)}^2\cdot 10\sqrt{3}\cdot h_p$$

Упростим выражение и получим ответ:

$$V_{pr}=200\pi \cdot \sqrt{3}\cdot (h_p{\text{см}}^2)$$