Какой объем призмы, если вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник

Gloriya

67

Для решения данной задачи рассмотрим каждую часть пошагово.

Шаг 1: Найдем площадь основания прямоугольного треугольника.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника:
\[S_{tr} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]

Где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника, а \(\gamma\) - угол между ними.

Для данного треугольника катеты равны:
\(a = 20 \, \text{cm}\) (радиус цилиндра)
\(b = 20 \sqrt{3} \, \text{cm}\) (диагональ боковой грани треугольной призмы)

Угол \(\gamma\) составляется между основанием треугольника и плоскостью основания призмы и равен 60°.

Вычислим площадь основания треугольника:
\[S_{tr} = \frac{1}{2} \cdot 20 \, \text{cm} \cdot 20 \sqrt{3} \, \text{cm} \cdot \sin(60°)\]

Теперь найдем значение синуса 60°.
\(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим полученные значения в формулу площади треугольника:
\[S_{tr} = \frac{1}{2} \cdot 20 \, \text{cm} \cdot 20 \sqrt{3} \, \text{cm} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упростим выражение:
\[S_{tr} = 200 \sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности треугольной призмы.

Зная площадь основания и ее периметр, мы можем найти площадь боковой поверхности прямоугольной призмы.

Периметр треугольника:
\[P_{tr} = a + b + c\]

Где \(c\) - гипотенуза треугольника.

Для данного треугольника длина гипотенузы равна:
\[c = 20 \sqrt{3} \, \text{cm}\]

Вычислим периметр треугольника:
\[P_{tr} = 20 \, \text{cm} + 20 \sqrt{3} \, \text{cm} + 20 \sqrt{3} \, \text{cm}\]

Упростим выражение:
\[P_{tr} = 20 \, \text{cm} + 40 \sqrt{3} \, \text{cm}\]

Площадь боковой поверхности призмы:
\[S_{bp} = P_{tr} \cdot h_p\]

Где \(h_p\) - высота призмы.

Нам нужно найти высоту призмы, поэтому воспользуемся формулой для объема цилиндра:
\[V_{cyl} = S_{bp} \cdot h_p\]

Подставим в формулу известные значения:
\[V_{cyl} = S_{bp} \cdot h_p = 200 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot h_p\]

Шаг 3: Найдем объем цилиндра.

Объем цилиндра может быть найден по формуле:
\[V_{cyl} = \pi \cdot r_{cyl}^2 \cdot h_{cyl}\]

Подставим известные значения:
\[V_{cyl} = \pi \cdot (20 \, \text{см})^2 \cdot h_{cyl}\]

Для определения высоты цилиндра (\(h_{cyl}\)) и в конечном итоге объема призмы (\(V_{pr}\)), нам нужно учесть отношение между объемами цилиндра и призмы.

Шаг 4: Вычислим объем призмы.

Объем призмы может быть выражен через объем цилиндра с помощью соотношения:
\[V_{pr} = \frac{1}{2} \cdot V_{cyl}\]

Подставим известные значения и рассчитаем объем призмы:
\[V_{pr} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (20 \, \text{см})^2 \cdot h_{cyl}\]

Теперь остается только рассчитать \(h_{cyl}\), выразив его через \(h_p\):

\[\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (20 \, \text{см})^2 \cdot h_{cyl} = 200 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot h_p\]

Деля обе части равенства на \(\pi \cdot (20 \, \text{см})^2\) получим:

\[h_{cyl} = \frac{200 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot h_p}{\frac{1}{2} \cdot (20 \, \text{см})^2}\]

После упрощения получим:

\[h_{cyl} = 10 \sqrt{3} \cdot h_p\]

Таким образом, объем призмы (\(V_{pr}\)) равен:

\[V_{pr} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (20 \, \text{см})^2 \cdot 10 \sqrt{3} \cdot h_p\]

Упростим выражение и получим ответ:

\[V_{pr} = 200 \pi \cdot \sqrt{3} \cdot (h_p \, \text{см}^2)\]