Каков объем тела вращения, если прямоугольный треугольник с катетом длиной 2 корня из 3 см поворачивается вокруг

Lyalya

23

Для решения данной задачи мы будем использовать метод подстановки. Для начала, давайте построим прямоугольный треугольник и визуализируем его.

Мы имеем прямоугольный треугольник, у которого один катет равен 2√3 см. Давайте обозначим этот катет через а. Тогда другой катет будет равен а√3, и гипотенуза будет равна 2а.

Теперь, мы должны повернуть этот прямоугольный треугольник вокруг второго катета, чтобы создать тело вращения. Когда мы поворачиваем фигуру вокруг оси вращения, она образует цилиндр с основанием, соответствующим прямоугольному треугольнику, и высотой, равной длине второго катета.

Теперь мы можем приступить к определению объема этого цилиндра. Объем цилиндра можно найти по формуле:

\[ V = \pi r^2 h \]

где V - объем, r - радиус основания цилиндра, а h - высота цилиндра.

В нашем случае, основание цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, а его высота равна второму катету. Нам нужно найти радиус основания цилиндра, чтобы можно было использовать формулу для расчета объема.

Радиус основания цилиндра можно найти, используя формулу для длины окружности:

\[ C = 2\pi r \]

где C - длина окружности и r - радиус.

Длина окружности равна периметру прямоугольного треугольника, и мы можем найти его, используя теорему Пифагора:

\[ P = a + b + c \]

где P - периметр, а и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

В нашем случае, мы знаем, что один катет равен 2√3, второй катет равен а√3, и гипотенуза равна 2а. Подставим эти значения в формулу для периметра:

\[ P = 2\sqrt{3} + a\sqrt{3} + 2a \]

Теперь мы имеем значение периметра прямоугольного треугольника, и можем найти радиус основания цилиндра, разделив его на \(2\pi\):

\[ r = \frac{P}{2\pi} = \frac{2\sqrt{3} + a\sqrt{3} + 2a}{2\pi} \]

Теперь, имея значение радиуса основания цилиндра, мы можем найти его объем, используя формулу:

\[ V = \pi r^2 h \]

где r - радиус, а h - высота, которая равна длине второго катета.

Подставляя значения, получаем:

\[ V = \pi \left(\frac{2\sqrt{3} + a\sqrt{3} + 2a}{2\pi}\right)^2 \cdot a\sqrt{3} \]

Теперь остается только упростить и упрощать эту формулу, чтобы выразить объем тела вращения через a, длину второго катета.

Возможно, этот ответ покажется сложным и запутанным для школьника, но с помощью пошагового обоснования мы позволяли ему ясно увидеть, как мы пришли к этой формуле и как именно работает математика.