Какой объём прямоугольного параллелепипеда АВСDKLMN, если стороны основания АВ и ВС равны 3 см и 4 см соответственно

Igorevna

54

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам необходимо знать длину, ширину и высоту этой фигуры. В данной задаче у нас уже даны размеры двух сторон основания, но нам не хватает информации о высоте.

Однако, нам дано дополнительное условие: диагональ КС образует угол в 45 градусов с плоскостью основания. Это позволяет нам использовать факт, что диагональ параллелепипеда является его пространственной диагональю.

По свойству параллелепипеда, пространственная диагональ \(d\) соединяет противоположные вершины параллелепипеда, а также является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного тремя ребрами параллелепипеда. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти диагональ:

\[d = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CK^2}\]

Для нахождения диагонали по теореме Пифагора, нам необходимо знать длину сторон AB и BC, а также знать угол между диагональю и плоскостью основания. У нас уже даны значения AB и BC, а угол равен 45 градусам.

Подставим известные значения в формулу диагонали:

\[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + CK^2}\]

Заметим, что CK – это высота параллелепипеда. Вспомним, что у нас есть два прямоугольных треугольника: один с гипотенузой BC и катетами AB и CK, а другой – с гипотенузой AB и катетами BC и CK. Мы знаем, что угол между диагональю KC и плоскостью основания равен 45 градусам, что означает, что угол между гипотенузой BC и катетами AB и CK также равен 45 градусам.

При таком раскладе, оба прямоугольных треугольника будут подобны прямоугольному треугольнику с известными сторонами. Мы можем использовать эту информацию для нахождения отношения между сторонами этих треугольников.

Отношение сторон прямоугольного треугольника равно отношению соответствующих катетов:

\[\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{CK} = \frac{BC}{AC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{AC}{3} = \frac{3}{CK} = \frac{4}{AC}\]

После решения данного уравнения, мы найдем значения сторон и высоты:
AC = 3√2 см
CK = 3√2 см
BC = 4√2 см

Теперь, зная все стороны, мы можем найти диагональ KC:

\[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 16 + 18} = \sqrt{43}\]см

И, наконец, мы можем найти объем прямоугольного параллелепипеда, используя формулу:

\[V = AB \cdot BC \cdot CK = 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36 \sqrt{2}\]см³

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда АВСDKLMN равен 36√2 кубических сантиметров.