Какой остаток получается, когда Юра делит свое задуманное натуральное число на 5, затем на 8, а потом на 12, если сумма

Ветка

16

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала найти остатки, которые получаются при делении задуманного числа на каждое из трех чисел - 5, 8 и 12. Давайте предположим, что задуманное число обозначается как \(x\).

Остаток при делении числа на 5 обозначим как \(r_1\), остаток при делении на 8 - как \(r_2\), а остаток при делении на 12 - как \(r_3\). Также мы знаем, что сумма остатков равна какому-то числу \(S\).

Теперь воспользуемся этой информацией и напишем уравнения:

\[x \equiv r_1 \pmod{5}\]
\[x \equiv r_2 \pmod{8}\]
\[x \equiv r_3 \pmod{12}\]

Мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках, чтобы найти остаток \(x\) по модулю 5 * 8 * 12 = 480.

Теперь разберемся с каждым уравнением по отдельности:

Уравнение 1: \(x \equiv r_1 \pmod{5}\)
Остаток \(r_1\) должен находиться в пределах от 0 до 4 включительно, поскольку мы делим на 5.

Уравнение 2: \(x \equiv r_2 \pmod{8}\)
Остаток \(r_2\) должен быть от 0 до 7, так как мы делим на 8.

Уравнение 3: \(x \equiv r_3 \pmod{12}\)
Остаток \(r_3\) должен быть от 0 до 11, так как мы делим на 12.

Теперь перейдем к решению уравнений. Для каждого уравнения найдем наименьшее положительное решение.

Уравнение 1:
Наименьший положительный остаток \(r_1\), когда делим на 5, равен 1. Так как мы ищем наименьшее положительное решение, значит \(r_1 = 1\).

Уравнение 2:
Наименьший положительный остаток \(r_2\), при делении на 8, равен 3. Значит \(r_2 = 3\).

Уравнение 3:
Наименьший положительный остаток \(r_3\), при делении на 12, равен 9. Значит \(r_3 = 9\).

Теперь, чтобы найти \(x\), мы можем использовать следующую формулу:

\[x \equiv r_1 + (r_2 - r_1) \cdot M_1 \cdot N_1 + (r_3 - r_1) \cdot M_2 \cdot N_2 \pmod{M}\]

Где \(M_1 = M / 5\), \(N_1\) является обратным элементом 5 по модулю 5, \(M_2 = M / 8\), \(N_2\) - обратный элемент 8 по модулю 8, и \(M = 480 = 5 \cdot 8 \cdot 12\).

Вычислим значения \(M_1\) и \(M_2\):

\[M_1 = \frac{480}{5} = 96\]
\[M_2 = \frac{480}{8} = 60\]

Теперь найдем обратные элементы \(N_1\) и \(N_2\):

Для нахождения обратного элемента \(N_1\) по модулю 5, мы должны найти такое число, которое, умноженное на 5, даёт остаток 1 по модулю 5. В данном случае такое число равно 1, потому что \(1 \cdot 5 \equiv 1 \pmod{5}\).

Аналогично, для нахождения обратного элемента \(N_2\) по модулю 8, мы должны найти такое число, которое, умноженное на 8, даёт остаток 1 по модулю 8. В данном случае такого числа не существует, так как 8 и 12 взаимно просты.

Теперь, подставим все эти значения в формулу, чтобы найти \(x\):

\[x \equiv 1 + (3 - 1) \cdot 96 \cdot 1 + (9 - 1) \cdot 60 \cdot 0 \pmod{480}\]

\[x \equiv 1 + 2 \cdot 96 + 8 \cdot 0 \pmod{480}\]

\[x \equiv 1 + 192 \pmod{480}\]

\[x \equiv 193 \pmod{480}\]

Таким образом, остаток, который получается, когда Юра делит свое задуманное натуральное число на 5, затем на 8, а потом на 12, при условии, что сумма остатков равна \(S\), равен 193.