Какой период и амплитуда вертикальных колебаний системы, если груз массой 0,2 кг, подвешенный к верхнему концу пружины

Мистическая_Феникс

5

Для решения задачи о вертикальных колебаниях системы, нам необходимо использовать закон Гука и законы сохранения энергии.

Шаг 1: Расчет силы упругости пружины
Используя закон Гука, мы можем вычислить силу упругости пружины, которая действует на груз при его отклонении от положения равновесия.
Формула закона Гука: $F=k\cdot x$, где
$F$ - сила упругости пружины,
$k$ - жесткость пружины,
$x$ - отклонение от положения равновесия.

Подставим известные значения:
$k=32\text{Н/м}$,
$x=-24\text{см}=-0,24\text{м}$.

Вычисляем силу упругости:
$F=32\text{Н/м}\cdot -0,24\text{м}=-7,68\text{Н}$

Шаг 2: Расчет начальной потенциальной энергии пружины
У нас есть формула для расчета потенциальной энергии пружины:
$E=\frac{1}{2}k{x}^2$
где
$E$ - потенциальная энергия пружины,
$k$ - жесткость пружины,
$x$ - отклонение от положения равновесия.

Подставим известные значения:
$k=32\text{Н/м}$,
$x=-24\text{см}=-0,24\text{м}$.

Вычисляем потенциальную энергию пружины:
$E=\frac{1}{2}\cdot 32\text{Н/м}\cdot (-0,24\text{м}{)}^2=0,92\text{Дж}$

Шаг 3: Расчет начальной кинетической энергии груза
Начальная кинетическая энергия груза может быть вычислена по формуле:
$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$,
где
$E_k$ - начальная кинетическая энергия груза,
$m$ - масса груза,
$v$ - начальная скорость груза.

Подставим известные значения:
$m=0,2\text{кг}$,
$v=1,8\text{м/с}$.

Вычисляем начальную кинетическую энергию груза:
$E_k=\frac{1}{2}\cdot 0,2\text{кг}\cdot (1,8\text{м/с}{)}^2=0,324\text{Дж}$

Шаг 4: Расчет полной энергии системы
Согласно закону сохранения механической энергии, полная энергия системы остается постоянной во время колебаний.

Таким образом, сумма потенциальной и кинетической энергий в начальном положении равняется сумме потенциальной и кинетической энергий в максимальном отклонении от положения равновесия.

$E_{\text{начальная}}=E_{\text{максимальная}}$

$0,92\text{Дж}+0,324\text{Дж}={\text{амплитуда}}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot 0,2\text{кг}\cdot 0^2$

$1,244\text{Дж}=\frac{1}{2}\cdot {\text{амплитуда}}^2\cdot 0,04\text{кг}{\text{м}}^2/{\text{с}}^2$

Шаг 5: Расчет амплитуды колебаний
Для нахождения амплитуды колебаний системы, нам необходимо перейти к следующему шагу решения уравнения.

${\text{амплитуда}}^2\cdot 0,08\text{кг}\cdot {\text{м}}^2/{\text{с}}^2=1,244\text{Дж}$

Теперь разделим обе части уравнения на $0,08\text{кг}\cdot {\text{м}}^2/{\text{с}}^2$ и извлечем квадратный корень:

${\text{амплитуда}}^2=\frac{1,244\text{Дж}}{0,08\text{кг}\cdot {\text{м}}^2/{\text{с}}^2}$

$\text{амплитуда}=\sqrt{\frac{1,244\text{Дж}}{0,08\text{кг}\cdot {\text{м}}^2/{\text{с}}^2}}$

$\text{амплитуда}=2\text{м}$

Ответ: Вертикальные колебания системы имеют период 2 метра и амплитуду 2 метра.