Какой период и амплитуда вертикальных колебаний системы, если груз массой 0,2 кг, подвешенный к верхнему концу пружины

Мистическая_Феникс

5

Для решения задачи о вертикальных колебаниях системы, нам необходимо использовать закон Гука и законы сохранения энергии.

Шаг 1: Расчет силы упругости пружины
Используя закон Гука, мы можем вычислить силу упругости пружины, которая действует на груз при его отклонении от положения равновесия.
Формула закона Гука: \(F = k \cdot x\), где
\(F\) - сила упругости пружины,
\(k\) - жесткость пружины,
\(x\) - отклонение от положения равновесия.

Подставим известные значения:
\(k = 32 \, \text{Н/м}\),
\(x = -24 \, \text{см} = -0,24 \, \text{м}\).

Вычисляем силу упругости:
\(F = 32 \, \text{Н/м} \cdot -0,24 \, \text{м} = -7,68 \, \text{Н}\)

Шаг 2: Расчет начальной потенциальной энергии пружины
У нас есть формула для расчета потенциальной энергии пружины:
\(E = \frac{1}{2} k x^2\)
где
\(E\) - потенциальная энергия пружины,
\(k\) - жесткость пружины,
\(x\) - отклонение от положения равновесия.

Подставим известные значения:
\(k = 32 \, \text{Н/м}\),
\(x = -24 \, \text{см} = -0,24 \, \text{м}\).

Вычисляем потенциальную энергию пружины:
\(E = \frac{1}{2} \cdot 32 \, \text{Н/м} \cdot (-0,24 \, \text{м})^2 = 0,92 \, \text{Дж}\)

Шаг 3: Расчет начальной кинетической энергии груза
Начальная кинетическая энергия груза может быть вычислена по формуле:
\(E_k = \frac{1}{2} m v^2\),
где
\(E_k\) - начальная кинетическая энергия груза,
\(m\) - масса груза,
\(v\) - начальная скорость груза.

Подставим известные значения:
\(m = 0,2 \, \text{кг}\),
\(v = 1,8 \, \text{м/с}\).

Вычисляем начальную кинетическую энергию груза:
\(E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \, \text{кг} \cdot (1,8 \, \text{м/с})^2 = 0,324 \, \text{Дж}\)

Шаг 4: Расчет полной энергии системы
Согласно закону сохранения механической энергии, полная энергия системы остается постоянной во время колебаний.

Таким образом, сумма потенциальной и кинетической энергий в начальном положении равняется сумме потенциальной и кинетической энергий в максимальном отклонении от положения равновесия.

\(E_{\text{начальная}} = E_{\text{максимальная}}\)

\(0,92 \, \text{Дж} + 0,324 \, \text{Дж} = \text{амплитуда}^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,2 \, \text{кг} \cdot 0^2\)

\(1,244 \, \text{Дж} = \frac{1}{2} \cdot \text{амплитуда}^2 \cdot 0,04 \, \text{кг} \, \text{м}^2/\text{с}^2\)

Шаг 5: Расчет амплитуды колебаний
Для нахождения амплитуды колебаний системы, нам необходимо перейти к следующему шагу решения уравнения.

\(\text{амплитуда}^2 \cdot 0,08 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = 1,244 \, \text{Дж}\)

Теперь разделим обе части уравнения на \(0,08 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2\) и извлечем квадратный корень:

\(\text{амплитуда}^2 = \frac{1,244 \, \text{Дж}}{0,08 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}\)

\(\text{амплитуда} = \sqrt{\frac{1,244 \, \text{Дж}}{0,08 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}}\)

\(\text{амплитуда} = 2 \, \text{м}\)

Ответ: Вертикальные колебания системы имеют период 2 метра и амплитуду 2 метра.