Какова плотность планеты, если ее радиус в три раза больше радиуса Земли, а спутник движется на расстоянии 142

Rodion

4

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, нам понадобятся некоторые физические формулы. Давайте вспомним, что плотность (ро) определяется как отношение массы (m) объекта к его объему (V). То есть:

\[
\rho = \frac{m}{V}
\]

Чтобы найти массу планеты, нам понадобится формула для объема сферы. Объем сферы (V) определяется следующим образом:

\[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

где \(r\) - радиус сферы.

Итак, планета имеет радиус, в три раза больший, чем радиус Земли. Это означает, что радиус планеты (\(R_p\)) будет равен \(3r\), где \(r\) - радиус Земли.

Теперь нам нужно найти массу планеты. Давайте представим, что \(M_p\) - масса планеты, а \(M_s\) - масса ее спутника.

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила притяжения между планетой и ее спутником равна силе центробежной силы. Формула для центростремительной силы выглядит следующим образом:

\[
f = \frac{M_s \cdot v^2}{r}
\]

где \(v\) - скорость спутника, а \(r\) - расстояние между спутником и планетой.

Так как сила тяготения \(F\) вычисляется по формуле \(F = G \frac{M_p \cdot M_s}{r^2}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, то мы можем приравнять эти две силы:

\[
\frac{M_s \cdot v^2}{r} = G \frac{M_p \cdot M_s}{r^2}
\]

Теперь мы можем сократить \(M_s\):

\[
\frac{v^2}{r} = G \frac{M_p}{r^2}
\]

Или, переписав это уравнение, получаем:

\[
v^2 = G \frac{M_p}{r}
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно массы планеты \(M_p\):

\[
M_p = \frac{v^2 \cdot r}{G}
\]

Итак, у нас есть формула для массы планеты. Теперь мы можем подставить это значение массы в формулу для плотности и рассчитать плотность (\(\rho\)):

\[
\rho = \frac{M_p}{V} = \frac{M_p}{\frac{4}{3} \pi R_p^3}
\]

Подставляем значения:

\[
\rho = \frac{\frac{v^2 \cdot r}{G}}{\frac{4}{3} \pi (3r)^3}
\]

Упрощаем выражение:

\[
\rho = \frac{\frac{v^2 \cdot r}{G}}{\frac{4}{27} \pi r^3}
\]

Итак, плотность планеты равна:

\[
\rho = \frac{27v^2}{4\pi G}
\]

Наконец, нам понадобится значение гравитационной постоянной \(G\), которая составляет \(6.67430 \times 10^{-11}\) м\(^3\)/(кг \cdot с\(^2\)).

Давайте подставим значения и решим эту задачу:

\[
\rho = \frac{27 \cdot (2 \, км/ч)^2}{4\pi \cdot 6.67430 \times 10^{-11}}
\]