Какой период колебаний упругого мяча, свободно падающего с высоты 127,4 м на твердую горизонтальную поверхность, если

Жираф

8

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Изначально мяч имеет потенциальную энергию, равную произведению его массы \( m \), ускорения свободного падения \( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 \) и высоты, с которой он падает \( h = 127,4 \, \text{м} \):

\[ E_1 = mgh \]

При нулевой скорости на уровне поверхности земли вся потенциальная энергия мяча исчезает, превращаясь в его кинетическую энергию:

\[ E_2 = \frac{1}{2} mv^2 \]

По закону сохранения механической энергии:

\[ E_1 = E_2 \]

\[ mgh = \frac{1}{2} mv^2 \]

Отметим, что масса мяча \( m \) сократится, и останется:

\[ gh = \frac{1}{2} v^2 \]

Чтобы найти скорость \( v \), с которой мяч ударяется о поверхность, выпишем ускорение \( a \), как изменение скорости \( v \) за время \( t \):

\[ a = \frac{\Delta v}{t} \]

Так как мяч свободно падает под влиянием силы тяжести, то ускорение будет равно ускорению свободного падения \( g \). Тогда можно записать:

\[ g = \frac{\Delta v}{t} \]

Перенесем \( t \) влево и получим:

\[ t = \frac{\Delta v}{g} \]

Известно, что \( \Delta v = v - 0 \), где 0 — начальная скорость в момент падения мяча, и \( v \) — конечная скорость в момент удара о поверхность.

Тогда:

\[ t = \frac{v}{g} \]

Наконец, период колебаний \( T \) можно определить как время, за которое происходит одно полное колебание. Но в данной задаче мяч свободно падает и ударяется о поверхность, рассматриваемое как одно полное колебание. Поэтому время колебаний будет равно удвоенному времени \( t \):

\[ T = 2t \]

Теперь мы можем подставить значения и рассчитать период колебаний:

\[ T = 2 \cdot \frac{v}{g} \]

А чтобы найти конечную скорость \( v \), воспользуемся формулой для свободного падения:

\[ v = \sqrt{2gh} \]

Подставим это значение в выражение для периода колебаний:

\[ T = 2 \cdot \frac{\sqrt{2gh}}{g} \]

Теперь осталось только подставить известные значения в эту формулу:

\[ T = 2 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 127,4 \, \text{м}}}{9,8 \, \text{м/с}^2} \]

Вычислим это выражение:

\[ T \approx \frac{2 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 127,4}}{9,8} \approx 12,84 \text{ с} \]

Таким образом, период колебаний упругого мяча, свободно падающего с высоты 127,4 метра на твердую горизонтальную поверхность без учета потери механической энергии и времени столкновения, составляет примерно 12,84 секунды (округляем до сотых).