Какой путь был пройден точкой за первые 3 секунды движения, если точка движется прямолинейно по закону x = 2t^3 - 9t^2

Zvezdopad_Shaman_8053

47

Здравствуйте! Для решения этой задачи нам необходимо найти путь, пройденный точкой, используя заданный закон движения \(x = 2t^3 - 9t^2 + 12t\). Для этого мы будем рассчитывать путь как интеграл скорости.

Закон движения \(x = 2t^3 - 9t^2 + 12t\) описывает положение точки в зависимости от времени. В данном случае, формула зависит от времени \(t\), и мы можем использовать эту формулу для получения пути точки.

Чтобы найти путь, пройденный точкой за первые 3 секунды, мы должны рассчитать значение интеграла от момента времени 0 до момента времени 3. Давайте рассмотрим вычисление пошагово.

1. Найдем первообразную данной функции:
\[x = 2t^3 - 9t^2 + 12t\]
Чтобы найти первообразную, мы возьмем интеграл от каждого члена функции по отдельности:
\[\int{2t^3}\,dt - \int{9t^2}\,dt + \int{12t}\,dt\]

Интегрируя каждый член по отдельности, получаем:
\[\frac{1}{2}\cdot2t^4 - \frac{1}{3}\cdot9t^3 + \frac{1}{2}\cdot12t^2 + C\]
Где C - произвольная постоянная.

2. Теперь, чтобы вычислить путь, пройденный точкой за первые 3 секунды, подставим значение верхнего предела интегрирования (3) и значение нижнего предела (0) в полученную первообразную:
\[\left(\frac{1}{2}\cdot2\cdot(3)^4 - \frac{1}{3}\cdot9\cdot(3)^3 + \frac{1}{2}\cdot12\cdot(3)^2\right) - \left(\frac{1}{2}\cdot2\cdot(0)^4 - \frac{1}{3}\cdot9\cdot(0)^3 + \frac{1}{2}\cdot12\cdot(0)^2\right)\]

3. Выполняя арифметические вычисления по порядку операций, получим окончательный результат:
\[\left(\frac{1}{2}\cdot2\cdot3^4 - \frac{1}{3}\cdot9\cdot3^3 + \frac{1}{2}\cdot12\cdot3^2\right) - \left(0\right)\]

Вычисляя значения внутри скобок, упрощаем выражение и получаем:
\[\left(\frac{1}{2}\cdot2\cdot81 - \frac{1}{3}\cdot9\cdot27 + \frac{1}{2}\cdot12\cdot9\right) - \left(0\right)\]

Продолжая упрощение, вычисляем значения внутри скобок:
\[\left(2\cdot81 - 3\cdot9 + 6\cdot9\right) - \left(0\right)\]

И в итоге получаем окончательный результат:
\[162 - 27 + 54 = 189\]

Таким образом, путь, пройденный точкой за первые 3 секунды движения, составляет 189 метров.