Какой путь пройдут вагоны после столкновения и до остановки, если вагон массой 60 т скатывается с сортировочной горки

Zabytyy_Sad

47

Для решения задачи необходимо применить законы сохранения энергии и импульса. Давайте разобьем задачу на несколько шагов и решим ее последовательно.

Шаг 1: Расчет кинетической энергии вагона на вершине горки
Первым делом найдем кинетическую энергию вагона на вершине горки. Можем воспользоваться формулой:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]
Где \(m\) - масса вагона, \(v\) - скорость вагона. Нам известна масса вагона (\(m = 60\) т), а начальная скорость равна 0 (так как вагон находится на вершине горки). Тогда кинетическая энергия будет равна 0:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot 60000 \cdot 0^2 = 0 \, \text{Дж}\]

Шаг 2: Расчет потенциальной энергии вагона на вершине горки
Теперь нужно найти потенциальную энергию вагона на вершине горки. Для этого воспользуемся формулой:
\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\]
Где \(m\) - масса вагона, \(g\) - ускорение свободного падения (принимаем его равным 9,8 м/с\(^2\)), \(h\) - высота горки. В нашем случае \(m = 60\) т, \(g = 9,8\) м/с\(^2\), \(h = 1,3\) м. Подставим значения и найдем потенциальную энергию:
\[E_{\text{пот}} = 60000 \cdot 9,8 \cdot 1,3 = 764400 \, \text{Дж}\]

Шаг 3: Нахождение скорости вагона перед столкновением
Для нахождения скорости вагона до столкновения с другими вагонами можно использовать закон сохранения энергии. Сумма кинетической и потенциальной энергии до столкновения должна равняться кинетической энергии после столкновения. Мы уже знаем, что кинетическая энергия до столкновения равна 0, а потенциальная энергия равна 764400 Дж. Пусть \(v\) - скорость вагона перед столкновением. Тогда можем записать уравнение:
\[\frac{1}{2} \cdot 60000 \cdot v^2 + 764400 = \frac{1}{2} \cdot 60000 \cdot v_{\text{кон}}^2\]
Где \(v_{\text{кон}}\) - скорость вагона после столкновения.

У нас также есть информация о силе трения, которую можно выразить через коэффициент трения \(\mu\) и нормальную силу \(N\):
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N\]
Нормальная сила равна произведению массы на ускорение свободного падения:
\[N = m \cdot g\]
Тогда:
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g\]
\[F_{\text{тр}} = 0,5 \cdot 60000 \cdot 9,8\]

В данной задаче работает трение скольжения, поэтому коэффициент трения равен 0,5.

Шаг 4: Нахождение скорости вагона после столкновения
Вагоны после столкновения сцепляются и двигаются вместе. После столкновений потерь энергии не происходит, поэтому можем использовать закон сохранения импульса:
\[m \cdot v + m_{\text{сцеп}} \cdot v = (m + m_{\text{сцеп}}) \cdot v_{\text{кон}}\]
Где \(m\) - масса первого вагона, \(v\) - скорость первого вагона перед столкновением, \(m_{\text{сцеп}}\) - суммарная масса пяти других вагонов (300 т), \(v_{\text{кон}}\) - скорость всей составленной поездной композиции после столкновения.

Подставим известные значения и решим уравнение относительно \(v_{\text{кон}}\).

Шаг 5: Нахождение пути, пройденного вагонами после столкновения и до остановки
Для расчета пути, пройденного вагонами после столкновения и до остановки, воспользуемся формулой:
\[h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]
Где \(h\) - высота горки, \(a\) - ускорение, \(t\) - время.

Мы уже нашли значение \(h\) (1,3 м), а ускорение можно выразить через силу трения и массу:
\[F_{\text{тр}} = m \cdot a\]
\[a = \frac{F_{\text{тр}}}{m}\]

Теперь нам нужно найти время, за которое вагоны остановятся. Для этого можем использовать уравнение движения:
\[v_{\text{кон}} = 0 = v + a \cdot t\]
\[t = -\frac{v}{a}\]

Подставим известные значения и найдем время, а затем и путь, пройденный вагонами после столкновения и до остановки.

Ответ поставленной задачи состоит из нескольких частей, приведенных в решении. Мы применили законы сохранения энергии и импульса, а также формулы для работы с потенциальной и кинетической энергией, силой трения и путем.