Какой радиус окружности, описанной около треугольника, если один из его углов равен 45° и противолежащая сторона равна

Lapka_8538

39

Для начала воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти величину другой стороны треугольника. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно отношению длины другой стороны к синусу противолежащего ей угла. В нашем случае это будет:

\[\frac{42}{\sin 45°} = \frac{b}{\sin C}\]

Так как угол C является прямым углом (90°), синус этого угла равен 1. Поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

\[\frac{42}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = b\]

Для упрощения уравнения, нужно умножить обе стороны на \(\frac{2}{\sqrt{2}}\):

\[42 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b\]

Теперь рассчитаем значение b:

\[b = 42 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\]

Для удобства, пишем \(\sqrt{2}\) как \(2\sqrt{2}\) (1 корень из 2):

\[b = 42 \cdot \frac{2}{2\sqrt{2}} = 42 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{42}{\sqrt{2}}\]

Приближенное значение этого выражения равно:

\[b \approx \frac{42}{1.414} \approx 29.74\]

Таким образом, другая сторона треугольника равна примерно 29.74 см. Теперь мы можем найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине длины стороны треугольника, деленной на синус половины противолежащего ей угла. В нашем случае это будет:

\[R = \frac{b}{2\sin \frac{45°}{2}}\]

Половина угла 45° равна 22.5°. Поэтому у нас есть:

\[R = \frac{29.74}{2\sin 22.5°}\]

Для упрощения уравнения, нужно вычислить синус 22.5°. Применим теорему синусов к треугольнику, имеющему углы 45°, 22.5° и 90°:

\[\sin 22.5° = \frac{\frac{b}{2}}{R}\]

Зная, что \(b = 29.74\), получим:

\[\sin 22.5° = \frac{\frac{29.74}{2}}{R}\]

Для упрощения уравнения, нужно умножить обе стороны на \(R\):

\[R \cdot \sin 22.5° = \frac{29.74}{2}\]

Теперь рассчитаем значение R:

\[R = \frac{29.74}{2 \cdot \sin 22.5°}\]

Для удобства, пишем \(\sin 22.5°\) как \(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\):

\[R = \frac{29.74}{2 \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{29.74}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\]

У нас есть знаменатель, в котором содержится корень. Приближенное значение этого выражения равно:

\[R \approx \frac{29.74}{0.7654} \approx 38.86\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около заданного треугольника, примерно равен 38.86 см. Это и есть ответ на задачу.