Какой радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, если известно, что один из его катетов

Медвежонок_844

44

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать свойство прямоугольного треугольника, а именно теорему Пифагора.
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Известно, что один из катетов равен 8 см. Обозначим эту длину как \(a\). Пусть другой катет равен \(b\) и гипотенуза равна \(c\).

Применим теорему Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Также, для вписанной окружности в прямоугольный треугольник, радиус будет равен половине гипотенузы. Обозначим радиус вписанной окружности как \(r\).

Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:
\[r = \frac{a + b - c}{2}\]

Мы можем выразить гипотенузу \(c\) через известные данные, используя теорему Пифагора. Таким образом:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для радиуса вписанной окружности:
\[r = \frac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2}\]

Мы знаем, что радиус описанной окружности равен 6 см, то есть \(R = 6\).
Радиус описанной окружности связан с радиусом вписанной окружности следующим соотношением:
\[R = 2r\]

Теперь мы можем подставить значение радиуса описанной окружности в выражение для радиуса вписанной окружности:
\[2r = 6\]
\[r = \frac{6}{2}\]
\[r = 3\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен 3 см.

Мы использовали теорему Пифагора для определения гипотенузы, формулу для радиуса вписанной окружности и соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей.