Какой радиус планеты (в километрах), у которой первая космическая скорость составляет 12 км/с, а ускорение свободного

Yarost

11

Чтобы найти радиус планеты при заданных условиях, воспользуемся формулой, связывающей первую космическую скорость, ускорение свободного падения и радиус планеты. Первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой объект может совершить круговое орбитальное движение вокруг планеты.

Формула для первой космической скорости:
\[v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}}}\]
где \(v\) — первая космическая скорость,
\(G\) — гравитационная постоянная (приблизительное значение: \(6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)),
\(M\) — масса планеты,
\(r\) — радиус планеты.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно записать через уравнение движения свободного падения:
\[g = \frac{{GM}}{{r^2}}\]
где \(g\) — ускорение свободного падения.

Из этих двух формул можно выразить массу планеты и подставить ее в первую формулу, чтобы найти радиус планеты.

Приравняем оба выражения для \(GM\) и получим:
\[v^2 = \frac{{GM}}{{r}} = gr\]
Так как \(v\) дано в километрах в секунду, а \(g\) в метрах в секунду в квадрате, приведем ускорение свободного падения к километрам в секунду в квадрате:
\[g = 15 \cdot \left(\frac{1}{1000}\right) = 0.015 \frac{\text{км}}{\text{с}^2}\]

Теперь можем решить уравнение:
\[v^2 = gr\]
\[12^2 = 0.015 \cdot r\]
\[r = \frac{12^2}{0.015}\]
\[r = 9600 \text{ км}\]

Таким образом, радиус планеты составляет 9600 километров.