Какой радиус у Венеры при массе 4.88 10^24 кг и первой космической скорости 7.3 км/с?

Zvezdnaya_Noch

65

Чтобы найти радиус планеты Венера при заданных условиях, мы можем использовать законы сохранения энергии и законы движения тел в гравитационном поле.

Для начала, нам понадобятся значения гравитационной постоянной \(G\) и массы Солнца \(M_{\odot}\). В соответствии с известными значениями из физических источников, \(G\) равно примерно \(6.67 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2\), а масса Солнца \(M_{\odot}\) составляет около \(1.989 \times 10^{30}\, \text{кг}\).

Теперь мы можем использовать космическую скорость, чтобы найти кинетическую энергию Венеры. Кинетическая энергия определяется формулой
\[E_k = \frac{1}{2} M v^2,\]
где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(M\) - масса планеты и \(v\) - скорость.

Для Венеры масса \(M\) равна \(4.88 \times 10^{24}\,\text{кг}\) и скорость \(v\) равна \(7.3\,\text{км}/\text{с}\). Подставим эти значения в формулу и найдем кинетическую энергию Венеры.

\[\begin{align*}
E_k &= \frac{1}{2} (4.88 \times 10^{24})(7.3\times10^3)^2\\
&= \frac{1}{2} \times 4.88 \times 10^{24} \times (7.3\times10^3)^2\\
& \approx 1.153952 \times 10^{34}\,\text{Дж}
\end{align*}\]

Теперь мы можем использовать значения кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии для решения задачи. По закону сохранения энергии:
\[E_k = E_p,\]
где \(E_p\) - гравитационная потенциальная энергия.

Гравитационная потенциальная энергия для объекта массой \(M\) и радиусом \(r\) в гравитационном поле Солнца задается выражением:
\[E_p = -\frac{GM_{\odot}M}{r},\]
где знак "-" означает, что гравитационная потенциальная энергия отрицательна.

Подставим значения и найдем гравитационную потенциальную энергию Венеры:
\[1.153952 \times 10^{34} = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30} \times 4.88 \times 10^{24}}{r}\]

Теперь мы можем решить это уравнение и найти радиус \(r\) планеты Венера.

\[\begin{align*}
r &= -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.989 \times 10^{30} \times 4.88 \times 10^{24}}{1.153952 \times 10^{34}}\\
&\approx 1.0812 \times 10^{7}\,\text{м}
\end{align*}\]

Итак, радиус планеты Венера составляет приблизительно \(1.0812 \times 10^{7}\,\text{м}\).