Какой радиус (в километрах) у планеты с первой космической скоростью 12 км/с и ускорением свободного падения 15 м/с²?

Полина

67

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, необходимая для преодоления притяжения земли и выхода на орбиту вокруг планеты. Чтобы найти радиус планеты, используем формулу для определения первой космической скорости:

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{r}}\]

Где:
\(v\) - первая космическая скорость,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)),
\(M\) - масса планеты,
\(r\) - радиус планеты.

Мы также знаем, что ускорение свободного падения (\(g\)) на планете равно 15 м/с². Ускорение свободного падения также можно записать как:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{r^2}\]

Теперь у нас есть две формулы, связанные массой планеты (\(M\)), гравитационной постоянной (\(G\)) и радиусом планеты (\(r\)). Мы можем решить эти уравнения с помощью замены и алгебраических преобразований.

Давайте найдем сначала радиус планеты из второго уравнения. Решим его относительно \(r\):

\[g \cdot r^2 = G \cdot M\]

\[r^2 = \frac{{G \cdot M}}{g}\]

\[r = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{g}}\]

Теперь мы можем подставить полученное значение \(r\) в первое уравнение, чтобы найти первую космическую скорость:

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{r}}\]

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot M}}{\sqrt{\frac{{G \cdot M}}{g}}}}\]

\[v = \sqrt{\frac{{G \cdot M \cdot g}}{G \cdot M}}\]

\[v = \sqrt{g}\]

Таким образом, радиус планеты можно выразить через первую космическую скорость и ускорение свободного падения:

\[r = \frac{{g}}{{v^2}}\]

Подставим известные значения в формулу:

\[r = \frac{{15 \, \text{м/с²}}}{{(12 \, \text{км/с})^2}}\]

\[r = \frac{{15}}{{12^2}} \, \text{км}\]

Поэтому, радиус планеты составляет примерно 0.104 километров.