Какой радиус вписанной окружности треугольника ВСД, если она касается стороны ВС в точке Р и известно, что ВД

Solnechnyy_Feniks

28

Для того чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника ВСД, мы можем использовать свойство касательной, которая проведена от вершины треугольника до точки касания окружности со стороной треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ВСД равен \( r \). Заметим, что из точки касания окружности со стороной ВС проведена перпендикулярная линия до центра окружности. Поэтому, данная перпендикулярная линия является высотой треугольника ВСР.

Так как СР является перпендикуляром, то треугольник ВСР является прямоугольным треугольником. Следовательно, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны ВР.

\[ ВР^2 = ВС^2 - СР^2 \]
\[ ВР = \sqrt{ВС^2 - СР^2} \]
\[ ВР = \sqrt{15^2 - \left(\frac{СР}{2}\right)^2} \]

Теперь, мы можем выразить площадь треугольника ВСР, используя формулу площади треугольника через его стороны и радиус вписанной окружности.

\[ S_{ВСР} = \frac{1}{2} \cdot ВС \cdot ВР \]
\[ S_{ВСР} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{СР}{2}\right)^2} \]

Также, мы можем выразить площадь треугольника ВСР через его высоту, равную радиусу вписанной окружности.

\[ S_{ВСР} = \frac{1}{2} \cdot СР \cdot ВР \]
\[ S_{ВСР} = \frac{1}{2} \cdot СР \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{СР}{2}\right)^2} \]

Теперь мы можем приравнять два выражения для площади треугольника и решить получившееся уравнение относительно радиуса вписанной окружности.

\[ \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{СР}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \cdot СР \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{СР}{2}\right)^2} \]

Для того чтобы решить данное уравнение, можно сократить обе части на \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{15^2 - \left(\frac{СР}{2}\right)^2}\).

\[ 15 = СР \]

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника ВСД равен 15 см.