Как найти точку на прямой х=у, которая находится в два раза дальше от точки а (0; -2), чем от точки в

Feya

54

Хорошо, начнем пошаговое решение задачи.

1. Предоставлено уравнение прямой: \(x = y\).
2. Точка A имеет координаты (0, -2), а точка B имеет координаты (1, 0).
3. Наша задача состоит в том, чтобы найти точку C на прямой \(x = y\), которая находится в два раза дальше от точки A, чем от точки B.
4. Для начала найдем расстояние между точками A и B.

Расстояние между двумя точками в двухмерном пространстве можно найти с помощью формулы расстояния между точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Подставим координаты точек A и B:

\[d = \sqrt{{(1 - 0)}^2 + {(0 - (-2))}^2}\]
\[d = \sqrt{{1}^2 + {2}^2}\]
\[d = \sqrt{1 + 4}\]
\[d = \sqrt{5}\]
Таким образом, расстояние между точками A и B равно \(\sqrt{5}\).

5. Следующий шаг - найти точку C, которая находится в два раза дальше от точки A, чем от точки B.

Обозначим расстояние между точками A и C как \(d_1\), а расстояние между точками B и C как \(d_2\).
Так как точка C находится в два раза дальше от точки A, мы можем записать следующее уравнение:

\[d_1 = 2 \cdot d_2\]

6. Теперь нам нужно записать уравнения для расстояний \(d_1\) и \(d_2\).

Чтобы найти расстояние между точками A и C, мы можем использовать формулу расстояния:

\[d_1 = \sqrt{{(x_c - 0)}^2 + {(y_c - (-2))}^2}\]
\[d_1 = \sqrt{{x_c}^2 + {(y_c + 2)}^2}\]

Аналогично, чтобы найти расстояние между точками B и C, мы можем использовать формулу расстояния:

\[d_2 = \sqrt{{(x_c - 1)}^2 + {(y_c - 0)}^2}\]
\[d_2 = \sqrt{{(x_c - 1)}^2 + {y_c}^2}\]

7. Теперь мы можем записать уравнение \(d_1 = 2 \cdot d_2\) и решить его.

Подставим значения расстояний \(d_1\) и \(d_2\) в уравнение:

\[\sqrt{{x_c}^2 + {(y_c + 2)}^2} = 2 \cdot \sqrt{{(x_c - 1)}^2 + {y_c}^2}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:

\[{x_c}^2 + {(y_c + 2)}^2 = 4 \cdot \left[ {(x_c - 1)}^2 + {y_c}^2 \right]\]
\[{x_c}^2 + {y_c}^2 + 4y_c + 4 = 4 \cdot \left[ {(x_c - 1)}^2 + {y_c}^2 \right]\]

Раскроем скобки:

\[{x_c}^2 + {y_c}^2 + 4y_c + 4 = 4 \left[ {x_c}^2 - 2x_c + 1 + {y_c}^2 \right]\]
\[{x_c}^2 + {y_c}^2 + 4y_c + 4 = 4 {x_c}^2 - 8x_c + 4 + 4 {y_c}^2\]

Сгруппируем и упростим выражения:

\[3 {x_c}^2 + 4 {y_c}^2 -8x_c -4y_c = 0\]

Это квадратное уравнение для координат точки C.

8. Решим полученное уравнение для x_c.

Поделим уравнение на 3:

\[{x_c}^2 + \frac{4}{3} {y_c}^2 -\frac{8}{3}x_c -\frac{4}{3}y_c = 0\]

Так как уравнение имеет вид \(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy = 0\), мы можем записать его в стандартной форме уравнения окружности:

\[x_c^2 -\frac{8}{3}x_c + \frac{4}{3}y_c^2 - \frac{4}{3}y_c = 0\]

Попробуем выразить x_c через y_c, представив уравнение в виде:

\[x_c^2 -\frac{8}{3}x_c = - \frac{4}{3}y_c^2 + \frac{4}{3}y_c\]

Завершим квадрат, добавив и вычитая \(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}\right)^2 = \left(\frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9}\) в левую часть уравнения:

\[\left( x_c - \frac{4}{3}\right)^2 - \frac{16}{9} = - \frac{4}{3}y_c^2 + \frac{4}{3}y_c\]

\[\left( x_c - \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} - \frac{4}{3}y_c^2 + \frac{4}{3}y_c\]

\[\left( x_c - \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4}{3} (4 - y_c^2 + y_c)\]

Теперь перепишем исходное уравнение для x_c:

\[x_c = \frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{4}{3} (4 - y_c^2 + y_c)}\]

Таким образом, мы получили два значения x_c в зависимости от y_c.

9. Наконец, найдем соответствующие значения y_c, используя уравнение прямой \(x_c = y_c\).

Подставим найденные значения x_c и решим уравнение для y_c:

Для \(x_c = \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{4}{3} (4 - y_c^2 + y_c)}\):

\[\frac{4}{3} + \sqrt{\frac{4}{3} (4 - y_c^2 + y_c)} = y_c\]

Для \(x_c = \frac{4}{3} - \sqrt{\frac{4}{3} (4 - y_c^2 + y_c)}\):

\[\frac{4}{3} - \sqrt{\frac{4}{3} (4 - y_c^2 + y_c)} = y_c\]

Решив эти уравнения, мы найдем значения y_c.

10. Таким образом, мы находим точки C, которые удовлетворяют условиям задачи с помощью решения уравнений для x_c и y_c.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!