Какой синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D) в кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра 1 ед. изм

Sverkayuschiy_Pegas

56

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим сначала конструкцию куба ABCDA1B1C1 с указанными точками и отношением A1M:MD1=1:1.

Построим куб ABCDA1B1C1 первыми тремя гранями. Так как длина ребра равна 1 единице измерения, каждая сторона куба будет иметь длину 1.

Теперь вспомним, что в кубе противоположные грани параллельны. Таким образом, грань A1B1C1D1 будет параллельна грани ABCD.

Поскольку прямая AM задана так, что A1M:MD1=1:1, то точка M будет находиться ровно посередине отрезка A1D1. Это означает, что отношение A1M:MD1 равно 1:1.

Теперь обратимся к диагональной плоскости BB1D1D. Так как она пересекает прямую AM, а также грань ABCD, можно заметить, что грань BBC1D1 — параллелограмм.

В параллелограмме BBC1D1 смежные стороны равны, поэтому BD1 и C1B будут равными сторонами, и подобно тому, CD1 и C1D будут равными сторонами.

Так как прямая AM пересекает сторону A1B1 куба ABCDA1B1C1, может быть записано следующее соотношение:
\[\frac{A1M}{MB1} = \frac{A1B1}{B1D1}\]

Так как A1M:MB1 = 1:1, и длина каждой стороны куба равна 1, мы можем записать:
\[A1B1 = AB + A1B = 1 + 1 = 2\]

Также, поскольку каждая сторона куба ABCDA1B1C1 имеет длину 1, то B1D1 = 1. Таким образом, мы можем записать следующее:
\[\frac{1}{1} = \frac{2}{B1D1}\]

Дальнейшие действия позволят нам найти длину стороны B1D1 и, соответственно, найти синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью(BB1D1D):

\[B1D1 = \frac{2}{1} = 2\]

Теперь обратимся к треугольнику A1MB1, который образован прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D.

Мы можем найти синус угла ϕ, применив соотношение синуса:
\[\sin\phi = \frac{A1B1}{B1M}\]

Подставив значения, которые мы нашли ранее, получим:
\[\sin\phi = \frac{2}{1} = 2\]

Таким образом, ответ на задачу: sinϕ = 2