Какой тангенс двугранного угла образованного плоскостями sbc и abc в правильной треугольной пирамиде sabc с вершиной

Радуга_На_Земле

4

Для решения этой задачи нам нужно найти значение тангенса двугранного угла, образованного плоскостями sbc и abc в правильной треугольной пирамиде sabc.

Для начала вспомним определение тангенса. Тангенс угла \(\theta\) можно выразить как соотношение между его противоположным и прилежащим катетами в прямоугольном треугольнике. То есть, \(\tan(\theta) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\).

В нашей задаче у нас есть правильная треугольная пирамида sabc, где вершина пирамиды находится в точке \(s\), а боковые ребра \(sa\), \(sb\) и \(sc\) попарно перпендикулярны и имеют значения 8, 9 и 12 соответственно.

Чтобы найти значение тангенса угла, мы должны первоначально найти значения противоположного и прилежащего катетов.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, рассмотрим треугольники sba и sbc. В этих треугольниках гипотенузой будет являться отрезок \(sa\) или \(sc\), а катетами будут являться отрезки \(sb\) и \(bc\) соответственно.

Для треугольника \(sba\) применим теорему Пифагора:
\[sa^2 = sb^2 + ba^2\]
\[8^2 = sb^2 + ba^2\]
\[64 = sb^2 + ba^2\] (1)

Для треугольника \(sbc\):
\[sc^2 = sb^2 + bc^2\]
\[12^2 = sb^2 + bc^2\]
\[144 = sb^2 + bc^2\] (2)

Теперь мы знаем два уравнения, (1) и (2), и в них две неизвестные величины \(sb^2\) и \(ba^2\) для уравнения (1), а также \(sb^2\) и \(bc^2\) для уравнения (2).

Давайте найдем \(sb^2\) из (1) и подставим его в (2):
\[144 = 64 + ba^2 + bc^2\]
\[144 - 64 = ba^2 + bc^2\]
\[80 = ba^2 + bc^2\] (3)

У нас теперь есть уравнение (3), в котором фигурируют \(ba^2\) и \(bc^2\).

Чтобы найти эти значения, воспользуемся знанием о правильной треугольной пирамиде. Такая пирамида имеет все боковые грани равными равносторонним треугольникам. То есть \(ba = bc\).

Заменим \(ba\) с помощью этого равенства в уравнении (3):
\[80 = ba^2 + ba^2\]
\[80 = 2ba^2\]
\[ba^2 = 40\]

Теперь мы знаем значение \(ba^2\).

Вернемся к уравнению (1) и подставим найденное значение \(ba^2\):
\[64 = sb^2 + 40\]
\[sb^2 = 24\]

Теперь у нас есть значение \(sb^2\).

Для вычисления значения тангенса угла, образованного плоскостями sbc и abc, мы можем использовать отношение противоположного и прилежащего катетов.

Исходя из определения тангенса, у нас получается:
\[\tan(\text{угол}) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\]
\[\tan(\text{угол}) = \frac{{\sqrt{{sb^2}}}}{{\sqrt{{ba^2}}}}\]
\[\tan(\text{угол}) = \frac{{\sqrt{24}}}{{\sqrt{40}}}\]
\[\tan(\text{угол}) = \frac{{2\sqrt{6}}}{{2\sqrt{10}}}\]

Здесь мы видим, что корни сокращаются:
\[\tan(\text{угол}) = \frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{10}}}\]

Таким образом, тангенс двугранного угла, образованного плоскостями sbc и abc в правильной треугольной пирамиде sabc, с вершиной s и боковыми ребрами, равными 8, 9 и 12 соответственно, равен \(\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{10}}}\).