Какой тангенс двугранного угла образованного плоскостями sbc и abc в правильной треугольной пирамиде sabc с вершиной

Радуга_На_Земле

4

Для решения этой задачи нам нужно найти значение тангенса двугранного угла, образованного плоскостями sbc и abc в правильной треугольной пирамиде sabc.

Для начала вспомним определение тангенса. Тангенс угла $\theta$ можно выразить как соотношение между его противоположным и прилежащим катетами в прямоугольном треугольнике. То есть, $\tan (\theta )=\frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$.

В нашей задаче у нас есть правильная треугольная пирамида sabc, где вершина пирамиды находится в точке $s$, а боковые ребра $sa$, $sb$ и $sc$ попарно перпендикулярны и имеют значения 8, 9 и 12 соответственно.

Чтобы найти значение тангенса угла, мы должны первоначально найти значения противоположного и прилежащего катетов.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, рассмотрим треугольники sba и sbc. В этих треугольниках гипотенузой будет являться отрезок $sa$ или $sc$, а катетами будут являться отрезки $sb$ и $bc$ соответственно.

Для треугольника $sba$ применим теорему Пифагора:
$$s{a}^2=s{b}^2+b{a}^2$$
$$8^2=s{b}^2+b{a}^2$$
$$64=s{b}^2+b{a}^2$$ (1)

Для треугольника $sbc$:
$$s{c}^2=s{b}^2+b{c}^2$$
$${12}^2=s{b}^2+b{c}^2$$
$$144=s{b}^2+b{c}^2$$ (2)

Теперь мы знаем два уравнения, (1) и (2), и в них две неизвестные величины $s{b}^2$ и $b{a}^2$ для уравнения (1), а также $s{b}^2$ и $b{c}^2$ для уравнения (2).

Давайте найдем $s{b}^2$ из (1) и подставим его в (2):
$$144=64+b{a}^2+b{c}^2$$
$$144-64=b{a}^2+b{c}^2$$
$$80=b{a}^2+b{c}^2$$ (3)

У нас теперь есть уравнение (3), в котором фигурируют $b{a}^2$ и $b{c}^2$.

Чтобы найти эти значения, воспользуемся знанием о правильной треугольной пирамиде. Такая пирамида имеет все боковые грани равными равносторонним треугольникам. То есть $ba=bc$.

Заменим $ba$ с помощью этого равенства в уравнении (3):
$$80=b{a}^2+b{a}^2$$
$$80=2b{a}^2$$
$$b{a}^2=40$$

Теперь мы знаем значение $b{a}^2$.

Вернемся к уравнению (1) и подставим найденное значение $b{a}^2$:
$$64=s{b}^2+40$$
$$s{b}^2=24$$

Теперь у нас есть значение $s{b}^2$.

Для вычисления значения тангенса угла, образованного плоскостями sbc и abc, мы можем использовать отношение противоположного и прилежащего катетов.

Исходя из определения тангенса, у нас получается:
$$\tan (\text{угол})=\frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$$
$$\tan (\text{угол})=\frac{\sqrt{s{b}^2}}{\sqrt{b{a}^2}}$$
$$\tan (\text{угол})=\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{40}}$$
$$\tan (\text{угол})=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{10}}$$

Здесь мы видим, что корни сокращаются:
$$\tan (\text{угол})=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$$

Таким образом, тангенс двугранного угла, образованного плоскостями sbc и abc в правильной треугольной пирамиде sabc, с вершиной s и боковыми ребрами, равными 8, 9 и 12 соответственно, равен $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$.