Какой тангенс угла образуют плоскость ADA1 и плоскость, которая проходит через середины ребер AD, A1D1, в кубе

  • 9
Какой тангенс угла образуют плоскость ADA1 и плоскость, которая проходит через середины ребер AD, A1D1, в кубе ABCDA1B1C1D1?
Ягуар
11
Чтобы найти тангенс угла между двумя плоскостями, нам необходимо вычислить угол между нормалями к этим плоскостям. Давайте рассмотрим все необходимые шаги подробно.

Шаг 1: Представьте себе куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной a. Мы будем использовать координатную систему, где вершина A (0, 0, 0), вершина B (a, 0, 0), вершина C (a, a, 0), и так далее.

Шаг 2: Построим плоскость ADA1. Эта плоскость проходит через точки A, D и A1. Чтобы найти нормаль к этой плоскости, мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем вектор AD (D - A) и вектор A1A (A1 - A), чтобы получить нормальную к плоскости ADA1.

Найдем эти векторы:
Вектор AD = D - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
Вектор A1A = A1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a)

Теперь вычислим их векторное произведение:
Нормальная к плоскости ADA1 = AD × A1A
= (a, a, 0) × (0, a, a)

Чтобы найти векторное произведение, вычислим компоненты этого вектора:
Нормальная к плоскости ADA1 = ((a × a) - (0 × a), (0 × a) - (0 × a), (a × a) - (a × a))
= (a^2, 0, 0)

Итак, нормаль к плоскости ADA1 равна (a^2, 0, 0).

Шаг 3: Теперь построим плоскость, проходящую через середины ребер AD, A1D1. Эта плоскость также проходит через точку D1, но нам не нужно учитывать ее для определения нормали к плоскости. Мы можем использовать векторы, лежащие в плоскости ребер AD и A1D1, чтобы найти нормаль к этой плоскости.

Найдем векторы, лежащие в плоскости ребер AD и A1D1:
Вектор AD = (a, a, 0)
Вектор A1D1 = A1 - D1 = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a)

Теперь вычислим их векторное произведение:
Нормальная к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1 = AD × A1D1
= (a, a, 0) × (-a, a, a)

Вычислим компоненты векторного произведения:
Нормальная к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1 = ((a × a) - (0 × a), (0 × a) - (a × -a), (a × a) - (a × a))
= (a^2, -a^2, 0)

Таким образом, нормаль к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1, равна (a^2, -a^2, 0).

Шаг 4: Теперь мы получили нормали к обеим плоскостям: (a^2, 0, 0) и (a^2, -a^2, 0). Чтобы найти угол между этими нормалями, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

cos(θ)=N1N2N1N2,

где θ - искомый угол, N1 - нормаль к первой плоскости, N2 - нормаль ко второй плоскости, N1 и N2 - длины этих нормалей.

Вычислим значения этих выражений:

N1N2=(a2)(a2)+(0)(a2)+(0)(0)=a4+0+0=a4,
N1=(a2)2+(0)2+(0)2=a4+0+0=a4=a2,
N2=(a2)2+(a2)2+(0)2=a4+a4+0=2a4=2a2.

Теперь подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

cos(θ)=a4a22a2=a4a2a22=a4a42=12.

Шаг 5: Чтобы найти тангенс угла θ между плоскостями, мы можем использовать формулу:

tan(θ)=1cos2(θ)cos2(θ).

Подставим значение cos(θ)=12 в эту формулу:

tan(θ)=1(12)2(12)2
= 11212
= 21212
= 2122
= 212 (после упрощения).

Таким образом, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1, равен 212.