Какой тангенс угла образуют плоскость ADA1 и плоскость, которая проходит через середины ребер AD, A1D1, в кубе

Ягуар

11

Чтобы найти тангенс угла между двумя плоскостями, нам необходимо вычислить угол между нормалями к этим плоскостям. Давайте рассмотрим все необходимые шаги подробно.

Шаг 1: Представьте себе куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной $a$. Мы будем использовать координатную систему, где вершина A (0, 0, 0), вершина B (a, 0, 0), вершина C (a, a, 0), и так далее.

Шаг 2: Построим плоскость ADA1. Эта плоскость проходит через точки A, D и A1. Чтобы найти нормаль к этой плоскости, мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем вектор AD (D - A) и вектор A1A (A1 - A), чтобы получить нормальную к плоскости ADA1.

Найдем эти векторы:
Вектор AD = D - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
Вектор A1A = A1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a)

Теперь вычислим их векторное произведение:
Нормальная к плоскости ADA1 = AD × A1A
= (a, a, 0) × (0, a, a)

Чтобы найти векторное произведение, вычислим компоненты этого вектора:
Нормальная к плоскости ADA1 = ((a × a) - (0 × a), (0 × a) - (0 × a), (a × a) - (a × a))
= (a^2, 0, 0)

Итак, нормаль к плоскости ADA1 равна (a^2, 0, 0).

Шаг 3: Теперь построим плоскость, проходящую через середины ребер AD, A1D1. Эта плоскость также проходит через точку D1, но нам не нужно учитывать ее для определения нормали к плоскости. Мы можем использовать векторы, лежащие в плоскости ребер AD и A1D1, чтобы найти нормаль к этой плоскости.

Найдем векторы, лежащие в плоскости ребер AD и A1D1:
Вектор AD = (a, a, 0)
Вектор A1D1 = A1 - D1 = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a)

Теперь вычислим их векторное произведение:
Нормальная к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1 = AD × A1D1
= (a, a, 0) × (-a, a, a)

Вычислим компоненты векторного произведения:
Нормальная к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1 = ((a × a) - (0 × a), (0 × a) - (a × -a), (a × a) - (a × a))
= (a^2, -a^2, 0)

Таким образом, нормаль к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1, равна (a^2, -a^2, 0).

Шаг 4: Теперь мы получили нормали к обеим плоскостям: (a^2, 0, 0) и (a^2, -a^2, 0). Чтобы найти угол между этими нормалями, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

$\cos (\theta )=\frac{{\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}}{\Vert {\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}\Vert \Vert {\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}\Vert }$,

где $\theta$ - искомый угол, ${\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}$ - нормаль к первой плоскости, ${\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}$ - нормаль ко второй плоскости, $\Vert {\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}\Vert$ и $\Vert {\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}\Vert$ - длины этих нормалей.

Вычислим значения этих выражений:

${\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}=(a^2)\cdot (a^2)+(0)\cdot (-a^2)+(0)\cdot (0)=a^4+0+0=a^4$,
$\Vert {\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}\Vert =\sqrt{(a^2{)}^2+(0{)}^2+(0{)}^2}=\sqrt{a^4+0+0}=\sqrt{a^4}=a^2$,
$\Vert {\mathbf{N}}_{\mathbf{2}}\Vert =\sqrt{(a^2{)}^2+(-a^2{)}^2+(0{)}^2}=\sqrt{a^4+a^4+0}=\sqrt{2a^4}=\sqrt{2}{a}^2$.

Теперь подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\cos (\theta )=\frac{a^4}{a^2\cdot \sqrt{2}{a}^2}=\frac{a^4}{a^2\cdot a^2\sqrt{2}}=\frac{a^4}{a^4\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Шаг 5: Чтобы найти тангенс угла $\theta$ между плоскостями, мы можем использовать формулу:

$\tan (\theta )=\sqrt{\frac{1-{\cos }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}}$.

Подставим значение $\cos (\theta )=\frac{1}{\sqrt{2}}$ в эту формулу:

$\tan (\theta )=\sqrt{\frac{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}}$
= $\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}}$
= $\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}}}$
= $\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}\cdot \sqrt{2}$
= $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$ (после упрощения).

Таким образом, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1, равен $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.