Какой тангенс угла образуют плоскость ADA1 и плоскость, которая проходит через середины ребер AD, A1D1, в кубе

Ягуар

11

Чтобы найти тангенс угла между двумя плоскостями, нам необходимо вычислить угол между нормалями к этим плоскостям. Давайте рассмотрим все необходимые шаги подробно.

Шаг 1: Представьте себе куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной \(a\). Мы будем использовать координатную систему, где вершина A (0, 0, 0), вершина B (a, 0, 0), вершина C (a, a, 0), и так далее.

Шаг 2: Построим плоскость ADA1. Эта плоскость проходит через точки A, D и A1. Чтобы найти нормаль к этой плоскости, мы можем взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем вектор AD (D - A) и вектор A1A (A1 - A), чтобы получить нормальную к плоскости ADA1.

Найдем эти векторы:
Вектор AD = D - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
Вектор A1A = A1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a)

Теперь вычислим их векторное произведение:
Нормальная к плоскости ADA1 = AD × A1A
= (a, a, 0) × (0, a, a)

Чтобы найти векторное произведение, вычислим компоненты этого вектора:
Нормальная к плоскости ADA1 = ((a × a) - (0 × a), (0 × a) - (0 × a), (a × a) - (a × a))
= (a^2, 0, 0)

Итак, нормаль к плоскости ADA1 равна (a^2, 0, 0).

Шаг 3: Теперь построим плоскость, проходящую через середины ребер AD, A1D1. Эта плоскость также проходит через точку D1, но нам не нужно учитывать ее для определения нормали к плоскости. Мы можем использовать векторы, лежащие в плоскости ребер AD и A1D1, чтобы найти нормаль к этой плоскости.

Найдем векторы, лежащие в плоскости ребер AD и A1D1:
Вектор AD = (a, a, 0)
Вектор A1D1 = A1 - D1 = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a)

Теперь вычислим их векторное произведение:
Нормальная к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1 = AD × A1D1
= (a, a, 0) × (-a, a, a)

Вычислим компоненты векторного произведения:
Нормальная к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1 = ((a × a) - (0 × a), (0 × a) - (a × -a), (a × a) - (a × a))
= (a^2, -a^2, 0)

Таким образом, нормаль к плоскости, проходящей через ребра AD, A1D1, равна (a^2, -a^2, 0).

Шаг 4: Теперь мы получили нормали к обеим плоскостям: (a^2, 0, 0) и (a^2, -a^2, 0). Чтобы найти угол между этими нормалями, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

\(\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{N_2}}}{{\left\| \mathbf{N_1} \right\| \left\| \mathbf{N_2} \right\|}}\),

где \(\theta\) - искомый угол, \(\mathbf{N_1}\) - нормаль к первой плоскости, \(\mathbf{N_2}\) - нормаль ко второй плоскости, \(\left\| \mathbf{N_1} \right\|\) и \(\left\| \mathbf{N_2} \right\|\) - длины этих нормалей.

Вычислим значения этих выражений:

\(\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{N_2} = (a^2) \cdot (a^2) + (0) \cdot (-a^2) + (0) \cdot (0) = a^4 + 0 + 0 = a^4\),
\(\left\| \mathbf{N_1} \right\| = \sqrt{(a^2)^2 + (0)^2 + (0)^2} = \sqrt{a^4 + 0 + 0} = \sqrt{a^4} = a^2\),
\(\left\| \mathbf{N_2} \right\| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + (0)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + 0} = \sqrt{2a^4} = \sqrt{2}a^2\).

Теперь подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

\(\cos(\theta) = \frac{{a^4}}{{a^2 \cdot \sqrt{2}a^2}} = \frac{{a^4}}{{a^2 \cdot a^2 \sqrt{2}}} = \frac{{a^4}}{{a^4 \sqrt{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}}\).

Шаг 5: Чтобы найти тангенс угла \(\theta\) между плоскостями, мы можем использовать формулу:

\(\tan(\theta) = \sqrt{\frac{{1 - \cos^2(\theta)}}{{\cos^2(\theta)}}}\).

Подставим значение \(\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) в эту формулу:

\(\tan(\theta) = \sqrt{\frac{{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}}{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}}}\)
= \(\sqrt{\frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}}\)
= \(\sqrt{\frac{{\frac{{\sqrt{2} - 1}}{{\sqrt{2}}}}}{{\frac{1}{2}}}}\)
= \(\sqrt{\frac{{\sqrt{2} - 1}}{{\sqrt{2}}}} \cdot \sqrt{2}\)
= \(\frac{{\sqrt{2} - 1}}{{\sqrt{2}}}\) (после упрощения).

Таким образом, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1, равен \(\frac{{\sqrt{2} - 1}}{{\sqrt{2}}}\).