Какой треугольник получится, если повернуть прямоугольный треугольник MNK вокруг вершины прямого угла N на угол

Пушистик_7812

22

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые свойства поворотов вокруг точки. Когда мы поворачиваем точку вокруг данной вершины на заданный угол, остальные точки треугольника также поворачиваются относительно этой вершины на тот же угол.

Поэтому для решения задачи нам понадобится построить треугольник MNK и произвести поворот прямоугольного треугольника вокруг вершины N на угол 120 градусов по часовой стрелке.

Давайте начнем с построения прямоугольного треугольника MNK. Пусть вершина прямого угла треугольника находится в точке N, а стороны MN и NK – катеты прямоугольного треугольника.

Перед поворотом треугольника нам необходимо найти координаты вершин M и K. Предположим, что точка N имеет координаты (0,0), как центр нашей системы координат. Допустим, что сторона MN находится на положительной полуоси x, а сторона NK на положительной полуоси y, поэтому предполагаем, что точка M находится в некоторой точке (a, 0), а точка K – в точке (0, b), где a и b – положительные числа, определяющие длины сторон треугольника.

Теперь мы можем рассчитать координаты новых вершин M" и K" после поворота. Поскольку поворот происходит по часовой стрелке, мы должны использовать матрицу поворота против часовой стрелки \(R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\), где \(\theta\) – угол поворота.

В нашем случае, угол поворота \(\theta = 120\) градусов (\(120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}\) радиан). Подставив значения, получаем матрицу поворота \(R_{120^{\circ}} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\).

Рассчитаем новые координаты точек M" и K" для повернутого треугольника MN"K":

\[
\begin{align*}
M" &= R_{120^{\circ}} \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}a \\ \frac{\sqrt{3}}{2}a \end{bmatrix}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
K" &= R_{120^{\circ}} \begin{bmatrix} 0 \\ b \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ b \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2}b \\ -\frac{1}{2}b \end{bmatrix}
\end{align*}
\]

Теперь, зная новые координаты M" и K", мы можем построить повернутый треугольник MN"K" на координатной плоскости. Для этого соедините точки N, M" и K" прямыми линиями.

Таким образом, треугольник, получаемый при повороте прямоугольного треугольника MNK вокруг вершины N на угол 120 градусов по часовой стрелке, будет треугольником с вершинами в точках N, M" и K", где координаты M" и K" равны \(\left(-\frac{1}{2}a, \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)\) и \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}b, -\frac{1}{2}b\right)\) соответственно.

Надеюсь, эта информация поможет вам понять, какой треугольник получится при повороте прямоугольного треугольника MNK.