Какой угол а на повороте точки P0 (1;0), чтобы она оказалась в том же положении, что и при повороте на углы 440° - 170°

Hrustal

13

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1. В начале нам дана точка P0 с координатами (1;0). Мы должны определить угол а, который приведет точку P0 в ту же самую позицию, что и при повороте на углы 440°, -170°, -315° или 1000°.

2. Для начала, давайте посмотрим, как поворачивается точка вокруг начала координат. Когда точка поворачивается на угол \(\theta\) вокруг начала координат, новые координаты точки, назовем их (x", y"), могут быть найдены с помощью следующих формул:
\[x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta)\]
\[y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)\]
где x и y - исходные координаты точки P0, а \(\cos(\theta)\) и \(\sin(\theta)\) - значение косинуса и синуса угла \(\theta\) соответственно.

3. Теперь приступим к решению задачи. Мы должны найти угол а, который приведет точку P0 в ту же самую позицию. Для этого мы будем сравнивать новые координаты точек после каждого поворота.

4. Поворот на угол 440°:
Подставим x = 1, y = 0 и \(\theta = 440°\) в формулы:
\[x" = 1 \cdot \cos(440°) - 0 \cdot \sin(440°)\]
\[y" = 1 \cdot \sin(440°) + 0 \cdot \cos(440°)\]
Вычислим значения:
\[x" = -0.594, y" = -0.805\]

5. Поворот на угол -170°:
Подставим x = 1, y = 0 и \(\theta = -170°\) в формулы:
\[x" = 1 \cdot \cos(-170°) - 0 \cdot \sin(-170°)\]
\[y" = 1 \cdot \sin(-170°) + 0 \cdot \cos(-170°)\]
Вычислим значения:
\[x" = 0.985, y" = -0.174\]

6. Поворот на угол -315°:
Подставим x = 1, y = 0 и \(\theta = -315°\) в формулы:
\[x" = 1 \cdot \cos(-315°) - 0 \cdot \sin(-315°)\]
\[y" = 1 \cdot \sin(-315°) + 0 \cdot \cos(-315°)\]
Вычислим значения:
\[x" = 0.707, y" = -0.707\]

7. Поворот на угол 1000°:
Подставим x = 1, y = 0 и \(\theta = 1000°\) в формулы:
\[x" = 1 \cdot \cos(1000°) - 0 \cdot \sin(1000°)\]
\[y" = 1 \cdot \sin(1000°) + 0 \cdot \cos(1000°)\]
Вычислим значения:
\[x" = -0.342, y" = -0.940\]

8. Теперь сравним новые координаты точек с исходными координатами (1;0). Среди всех углов только угол -170° дает нам новые координаты близкие к исходным координатам (1;0). Поэтому, чтобы точка P0 оказалась в том же положении, что и при повороте на углы 440°, -170°, -315° или 1000°, угол а должен быть равен -170°.

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам разобраться в этой теме. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.