КАКОЙ УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ ASD И ABC В КВАДРАТЕ ABCD С О = 5 И АВ

Morskoy_Putnik

23

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрический подход и знание свойств углов в геометрии.

Первым шагом, построим квадрат ABCD с координатами вершин A(0, 0), B(0, 5), C(5, 5) и D(5, 0).

Теперь, обратимся к плоскостям ASD и ABC. Плоскость ASD проходит через точки A, S и D. Аналогично, плоскость ABC проходит через точки A, B и C.

Для нахождения угла между плоскостями ASD и ABC, мы можем использовать так называемую формулу косинуса угла между плоскостями. Данная формула выглядит следующим образом:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{n1} \cdot \vec{n2}}}{{\|\vec{n1}\|\|\vec{n2}\|}}\]

где \(\theta\) - угол между плоскостями ASD и ABC,
\(\vec{n1}\) - нормальный вектор к плоскости ASD,
\(\vec{n2}\) - нормальный вектор к плоскости ABC,
\(\cdot\) - обозначает скалярное произведение векторов,
\(\|\vec{n1}\|\) и \(\|\vec{n2}\|\) - обозначают длины векторов \(\vec{n1}\) и \(\vec{n2}\) соответственно.

Теперь найдем нормальные векторы \(\vec{n1}\) и \(\vec{n2}\).

Вектор \(\vec{n1}\) можно найти, используя две точки: A(0, 0) и D(5, 0) на плоскости ASD. Проведем вектор между этими точками \(\vec{AD}\), и найдем его нормаль \(\vec{n1}\) с помощью кросс-произведения:

\(\vec{n1} = \vec{AD} \times \vec{AO} = \begin{bmatrix}5\\0\\0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}\),

где \(\vec{AD}\) - вектор между точками A и D,
\(\vec{AO}\) - вектор, начинающийся в начале координат и направленный в сторону точки O(0, 0, 0), лежащей на плоскости ASD.

Аналогично, нормальный вектор \(\vec{n2}\) к плоскости ABC можно найти, используя две точки: A(0, 0) и B(0, 5). Проведем вектор между этими точками \(\vec{AB}\), и найдем его нормаль \(\vec{n2}\) с помощью кросс-произведения:

\(\vec{n2} = \vec{AB} \times \vec{AO} = \begin{bmatrix}0\\5\\0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}\).

Таким образом, мы получаем, что нормальные векторы \(\vec{n1}\) и \(\vec{n2}\) равны \(\begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}\).

Теперь заметим, что угол \(\theta\) между плоскостями ASD и ABC можно найти с помощью арккосинуса:

\(\theta = \arccos\left(\frac{{\vec{n1} \cdot \vec{n2}}}{{\|\vec{n1}\|\|\vec{n2}\|}}\right)\).

Подставляя значения, получаем:

\(\theta = \arccos\left(\frac{{\begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}}}{{\|\begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}\|\|\begin{bmatrix}0\\0\\-25\end{bmatrix}\|}}\right) = \arccos(1) = 0^\circ\).

Таким образом, угол между плоскостями ASD и ABC в данном случае равен 0 градусов. Это означает, что плоскости ASD и ABC параллельны друг другу и не пересекаются.