КАКОЙ УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ ASD И ABC В КВАДРАТЕ ABCD С О = 5 И АВ

Morskoy_Putnik

23

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрический подход и знание свойств углов в геометрии.

Первым шагом, построим квадрат ABCD с координатами вершин A(0, 0), B(0, 5), C(5, 5) и D(5, 0).

Теперь, обратимся к плоскостям ASD и ABC. Плоскость ASD проходит через точки A, S и D. Аналогично, плоскость ABC проходит через точки A, B и C.

Для нахождения угла между плоскостями ASD и ABC, мы можем использовать так называемую формулу косинуса угла между плоскостями. Данная формула выглядит следующим образом:

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{n1}\cdot \overrightarrow{n2}}{\Vert \overrightarrow{n1}\Vert \Vert \overrightarrow{n2}\Vert }$$

где $\theta$ - угол между плоскостями ASD и ABC,
$\overrightarrow{n1}$ - нормальный вектор к плоскости ASD,
$\overrightarrow{n2}$ - нормальный вектор к плоскости ABC,
$\cdot$ - обозначает скалярное произведение векторов,
$\Vert \overrightarrow{n1}\Vert$ и $\Vert \overrightarrow{n2}\Vert$ - обозначают длины векторов $\overrightarrow{n1}$ и $\overrightarrow{n2}$ соответственно.

Теперь найдем нормальные векторы $\overrightarrow{n1}$ и $\overrightarrow{n2}$.

Вектор $\overrightarrow{n1}$ можно найти, используя две точки: A(0, 0) и D(5, 0) на плоскости ASD. Проведем вектор между этими точками $\overrightarrow{AD}$, и найдем его нормаль $\overrightarrow{n1}$ с помощью кросс-произведения:

$\overrightarrow{n1}=\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AO}=\left[\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]$,

где $\overrightarrow{AD}$ - вектор между точками A и D,
$\overrightarrow{AO}$ - вектор, начинающийся в начале координат и направленный в сторону точки O(0, 0, 0), лежащей на плоскости ASD.

Аналогично, нормальный вектор $\overrightarrow{n2}$ к плоскости ABC можно найти, используя две точки: A(0, 0) и B(0, 5). Проведем вектор между этими точками $\overrightarrow{AB}$, и найдем его нормаль $\overrightarrow{n2}$ с помощью кросс-произведения:

$\overrightarrow{n2}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AO}=\left[\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]$.

Таким образом, мы получаем, что нормальные векторы $\overrightarrow{n1}$ и $\overrightarrow{n2}$ равны $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]$.

Теперь заметим, что угол $\theta$ между плоскостями ASD и ABC можно найти с помощью арккосинуса:

$\theta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{n1}\cdot \overrightarrow{n2}}{\Vert \overrightarrow{n1}\Vert \Vert \overrightarrow{n2}\Vert }\right)$.

Подставляя значения, получаем:

$\theta =\arccos \left(\frac{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]}{\Vert \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]\Vert \Vert \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]\Vert }\right)=\arccos (1)=0^{\circ }$.

Таким образом, угол между плоскостями ASD и ABC в данном случае равен 0 градусов. Это означает, что плоскости ASD и ABC параллельны друг другу и не пересекаются.