Какой угол образует прямая A1B с плоскостью ACD1 в кубе A...D1?

Svetik

47

Чтобы найти угол между прямой A1B и плоскостью ACD1 в кубе A...D1, нам необходимо использовать знания о геометрии и свойствах плоскостей и прямых в трехмерном пространстве. Давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Построение

Для начала, давайте представим куб A...D1 в трехмерном пространстве. Плоскость ACD1 представляет собой одну из граней куба. Прямая A1B проходит через две вершины куба и имеет направление, заданное этими вершинами. Давайте обозначим вершину A1 как точку A(0, 0, 0), а вершину B как точку B(x, y, z). Таким образом, наша задача сводится к нахождению угла между прямой AB и плоскостью ACD1.

Шаг 2: Направляющий вектор прямой

Для того чтобы найти угол между прямой AB и плоскостью ACD1, мы сначала найдем направляющий вектор прямой AB. Направляющий вектор прямой AB можно найти, вычислив разность координат конечной точки B и начальной точки A. Таким образом, направляющий вектор прямой AB будет иметь следующий вид: \(\overrightarrow{AB} = (x-0, y-0, z-0) = (x, y, z)\).

Шаг 3: Нормальный вектор плоскости

Чтобы найти угол между прямой AB и плоскостью ACD1, также нам потребуется нормальный вектор плоскости ACD1. Нормальный вектор плоскости перпендикулярен самой плоскости и задает ее ориентацию. В данном случае, плоскость ACD1 является одной из граней куба, поэтому нормальный вектор будет направлен вдоль одной из осей координат (X, Y или Z).

Для определения направления нормального вектора плоскости ACD1 нам нужно изучить, какие из координат точки D1 отличаются от похожих координат точек A, B и C. Так как у нас куб, то ACD1 является горизонтальной плоскостью, а нормальный вектор будет перпендикулярен плоскости и направлен вертикально.

Таким образом, нормальный вектор плоскости ACD1 будет иметь следующий вид: \(\overrightarrow{N} = (0, 1, 0)\).

Шаг 4: Вычисление угла

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой \(\overrightarrow{AB} = (x, y, z)\) и нормальный вектор плоскости \(\overrightarrow{N} = (0, 1, 0)\). Чтобы найти угол между прямой AB и плоскостью ACD1, мы можем воспользоваться формулой для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

\[\cos\theta = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{N}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{N}|}}\]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение, а \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{N}|\) - длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{N}\) соответственно.

Выполняя необходимые вычисления, мы получим:

\[\cos\theta = \frac{{x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0}}{{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}} = \frac{y}{{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}}\]

Шаг 5: Находим угол

Теперь, когда у нас есть значение \(\cos\theta\), мы можем найти угол \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\[\theta = \arccos\left(\frac{y}{{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}}\right)\]

Таким образом, угол между прямой A1B и плоскостью ACD1 в кубе A...D1 равен \(\theta = \arccos\left(\frac{y}{{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}}\right)\).

Мы использовали формулы и свойства геометрии, чтобы предоставить максимально подробный ответ с объяснениями каждого шага. Надеюсь, что этот ответ будет понятным для школьника и поможет ему решить задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!