Какой угол образует равнодействующая сил F(1), F(2) и F(3) с данной осью, если F(1)= i+4k; F(2)= i-2j+k; F(3)= 4i-3j?

Дождь

20

Для того чтобы найти угол между равнодействующей сил и данной осью, нам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите общую равнодействующую сил (F_Resultant). Для этого сложим все заданные силы векторно:
\[F_{\text{Resultant}} = F(1) + F(2) + F(3)\]

Заменяем значения F(1), F(2) и F(3) в выражении, чтобы получить F_Resultant:
\[F_{\text{Resultant}} = (i + 4k) + (i - 2j + k) + (4i - 3j)\]

Шаг 2: Упростите выражение. Для этого сложите векторы, суммируя соответствующие коэффициенты i, j и k:
\[F_{\text{Resultant}} = (1 + 1 + 4)i + (-2 - 3)j + (0 + 1 + 4)k\]

Коэффициенты сократятся, и мы получим:
\[F_{\text{Resultant}} = 6i - 5j + 5k\]

Шаг 3: Найдите модуль вектора F_Resultant. Для этого используйте формулу:
\[|F_{\text{Resultant}}| = \sqrt{(F_{x})^2 + (F_{y})^2 + (F_{z})^2}\]

Подставляем значения коэффициентов:
\[|F_{\text{Resultant}}| = \sqrt{(6)^2 + (-5)^2 + (5)^2}\]

Вычисляем:
\[|F_{\text{Resultant}}| = \sqrt{36 + 25 + 25} = \sqrt{86}\]

Шаг 4: Найдите скалярное произведение вектора F_Resultant и заданной оси (нормализованного вектора оси). Для этого умножьте соответствующие коэффициенты и сложите результаты:
\[F_{\text{Resultant}} \cdot \text{Axis} = (6i - 5j + 5k) \cdot \text{Axis}\]

Поскольку в задаче не указано, какая именно ось дана, предположим, что дана единичная ось вдоль положительного направления оси x.
Тогда можно записать:
\[\text{Axis} = i\]

Подставляем значения вектора F_Resultant и оси:
\[F_{\text{Resultant}} \cdot \text{Axis} = (6i - 5j + 5k) \cdot i\]

Вычисляем:
\[F_{\text{Resultant}} \cdot \text{Axis} = (6i \cdot i) + (-5j \cdot i) + (5k \cdot i)\]

Поскольку \(i \cdot i = 1\), а \(i, j, k\) ортогональны друг другу и имеют нулевое скалярное произведение, то получим:
\[F_{\text{Resultant}} \cdot \text{Axis} = 6\]

Шаг 5: Найдите модуль вектора оси. Для этого используйте формулу:
\[|\text{Axis}| = \sqrt{(A_{x})^2 + (A_{y})^2 + (A_{z})^2}\]

Поскольку вектор оси равен i, то:
\[|\text{Axis}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\]

Шаг 6: Найдите угол между вектором F_Resultant и осью. Для этого используйте формулу:
\[\cos(\theta) = \frac{{F_{\text{Resultant}} \cdot \text{Axis}}}{{|F_{\text{Resultant}}| \cdot |\text{Axis}|}}\]

Подставляем значения:
\[\cos(\theta) = \frac{6}{{\sqrt{86} \cdot 1}} = \frac{6}{\sqrt{86}}\]

Шаг 7: Найдите значение угла \(\theta\). Для этого возьмите арккосинус от полученного значения:
\[\theta = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{86}}\right)\]

Вычисляем значение угла \(\theta\):
\[\theta \approx 0.364 \text{ радиан} \approx 20.86^\circ\]

Таким образом, угол между равнодействующей сил и данной осью составляет примерно 20.86 градусов.