Каким образом можно подтвердить тригонометрическую формулу sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα?

Dobryy_Angel

13

Чтобы подтвердить данную тригонометрическую формулу \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha) \), мы можем использовать основные тригонометрические формулы и геометрические соображения.

Давайте рассмотрим следующую ситуацию: у нас есть единичный круг с центром в начале координат и двумя радиусами, образующими углы \(\alpha\) и \(\beta\) с положительной осью \(x\). Мы хотим выразить вектор, получающийся при сложении этих двух векторов.

Чтобы это сделать, давайте представим вектор, образованный углом \(\alpha + \beta\), как результат сложения векторов, образованных углами \(\alpha\) и \(\beta\). Используя декартовы координаты, мы можем записать координаты векторов следующим образом:

Вектор, образованный углом \(\alpha\):
\[ \vec{A} = (\cos(\alpha), \sin(\alpha)) \]

Вектор, образованный углом \(\beta\):
\[ \vec{B} = (\cos(\beta), \sin(\beta)) \]

Тогда, суммируя эти два вектора, мы получим новый вектор, образованный углом \(\alpha + \beta\):
\[ \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} \]

Теперь, если мы выразим координаты вектора \(\vec{C}\), то у нас будет:
\[ \vec{C} = (\cos(\alpha), \sin(\alpha)) + (\cos(\beta), \sin(\beta)) \]

Суммируя соответствующие координаты, получим:
\[ \vec{C} = (\cos(\alpha) + \cos(\beta), \sin(\alpha) + \sin(\beta)) \]

Используя основные тригонометрические формулы, мы можем привести это к более удобному виду:
\[ \vec{C} = (\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta), \sin(\alpha) + \sin(\beta)) \]

Теперь, если мы выразим координату \(y\) вектора \(\vec{C}\), то получим:
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha) \]

Таким образом, мы подтвердили тригонометрическую формулу \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha) \) с использованием геометрических соображений и основных тригонометрических формул.