Какой угол образует точка А(-7; 7) с положительной полуосью ох на луче, начинающемся в начале координатной системы?

Karamelka

25

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться определением угла между вектором и положительным направлением оси \(Ox\).

Пусть вектор \(\overrightarrow{OA}\) обозначает отрезок, соединяющий точку \(O\) (начало координатной системы) и точку \(A(-7; 7)\).

Для нахождения угла между вектором и положительным направлением оси \(Ox\), мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[
\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{OA}}}{{|\overrightarrow{OA}|}},
\]

где \(\theta\) - угол между вектором \(\overrightarrow{OA}\) и положительным направлением оси \(Ox\), \(\overrightarrow{i} = (1, 0)\) - единичный вектор, направленный вдоль положительной оси \(Ox\), и \(\overrightarrow{OA}\) - вектор, соединяющий точки \(O\) и \(A\). Здесь \(\overrightarrow{OA}\) может быть представлен как \(\overrightarrow{OA} = (A_x - O_x, A_y - O_y)\).

Вычислим значение скалярного произведения \(\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{OA}\):

\[
\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{OA} = (1, 0) \cdot (-7, 7) = 1 \cdot (-7) + 0 \cdot 7 = -7.
\]

Теперь вычислим длину вектора \(\overrightarrow{OA}\):

\[
|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{(A_x - O_x)^2 + (A_y - O_y)^2} = \sqrt{(-7 - 0)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 7^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}.
\]

Подставляя вычисленные значения в формулу для косинуса угла, получим:

\[
\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{OA}}}{{|\overrightarrow{OA}|}} = \frac{{-7}}{{7\sqrt{2}}} = -\frac{1}{{\sqrt{2}}}.
\]

Так как мы ищем значение угла \(\theta\), то найдем его с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса):

\[
\theta = \arccos \left( -\frac{1}{{\sqrt{2}}} \right).
\]

Используя калькулятор для вычисления значения арккосинуса, получим:

\[
\theta \approx 135^\circ.
\]

Таким образом, угол, образуемый точкой \(A(-7; 7)\) с положительной полуосью \(Ox\) на луче, начинающемся в начале координатной системы, составляет примерно \(135^\circ\).