Какой угол образуется между плоскостью (BDC) и плоскостью (DMC) в квадрате ABCD, где О - точка пересечения диагоналей

Zagadochnyy_Kot_394

7

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем точку M
Мы знаем, что OM перпендикулярна плоскости ABC. Поскольку OM перпендикулярна диагоналям ABCD, точка M должна быть серединой диагонали AC. Поскольку ABCD - квадрат, диагонали он имеют одинаковую длину и пересекаются в середине. Таким образом, мы можем сказать, что точка M является серединой диагонали AC.

Шаг 2: Найдем длину диагонали AC
Поскольку ABCD - квадрат, все его стороны равны. Пусть длина стороны квадрата будет s. Тогда длина диагонали AC будет равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами s и s. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали AC:
\[ AC = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = \sqrt{2}\cdot s \]

Шаг 3: Найдем длину OM
Дано, что длина OM равна \( \sqrt{6} \)

Шаг 4: Найдем s
Мы знаем, что OM является серединой диагонали AC. Таким образом, длина OM будет половиной длины диагонали AC. Нам дано, что длина OM равна \( \sqrt{6} \), поэтому мы можем записать уравнение:
\[ \sqrt{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot s \]

Далее, найдем s:
\[ s = \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Шаг 5: Найдем угол между плоскостью BDC и плоскостью DMC
Теперь, когда мы знаем длину стороны квадрата (s), мы можем найти угол между плоскостью BDC и плоскостью DMC. Поскольку эти плоскости содержат сторону DC, угол между ними будет равен углу DBM (поскольку DBM лежит в плоскости BDC и DMC). Мы также можем сказать, что угол DBCM равен углу DBC (поскольку BC - это сторона квадрата и все его углы равны).

Поскольку DBC - это прямой угол (все углы квадрата равны 90 градусам), то угол DBCM также равен 90 градусам.

Таким образом, угол между плоскостью BDC и плоскостью DMC составляет 90 градусов.