Какой угол образуют линии ST и TH в кубе QWERQ1W1E1R1, если точки H, S и T делят соответствующие ребра таким образом

Pavel

29

Чтобы найти угол между линиями ST и TH в кубе QWERQ1W1E1R1, мы можем использовать свойства скалярного произведения векторов. Давайте рассмотрим каждую из этих линий в кубе по отдельности.

Линия ST соединяет точки S и T, а линия TH соединяет точки T и H.

Для начала, давайте найдем векторы, которые соответствуют этим линиям. Для этого нам потребуется знать координаты каждой из этих точек.

Поскольку линия TH соединяет точки T и H, ее направляющий вектор равен разности координатных векторов этих точек:

$$\overrightarrow{TH}=\overrightarrow{H}-\overrightarrow{T}$$

Аналогичным образом, вектор для линии ST равен:

$$\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{T}-\overrightarrow{S}$$

Теперь, имея эти векторы, мы можем рассчитать угол между ними используя скалярное произведение.

Скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой:

$$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{B}|\cdot \cos (\theta )$$

Где $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$ - это векторы, $|\overrightarrow{A}|$ и $|\overrightarrow{B}|$ - их длины, a $\theta$ - искомый угол.

В нашем случае, мы хотим найти угол между векторами $\overrightarrow{ST}$ и $\overrightarrow{TH}$, и поэтому:

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{ST}\cdot \overrightarrow{TH}}{|\overrightarrow{ST}|\cdot |\overrightarrow{TH}|}$$

Теперь давайте рассчитаем числитель и знаменатель.

Чтобы вычислить скалярное произведение $\overrightarrow{ST}\cdot \overrightarrow{TH}$, мы должны перемножить соответствующие координаты векторов и сложить их:

$$\overrightarrow{ST}\cdot \overrightarrow{TH}=(S{T}_x\cdot T{H}_x)+(S{T}_y\cdot T{H}_y)+(S{T}_z\cdot T{H}_z)$$

Определив значения координат векторов:

$$S{T}_x=T_x-S_x,S{T}_y=T_y-S_y,S{T}_z=T_z-S_z$$
$$T{H}_x=H_x-T_x,T{H}_y=H_y-T_y,T{H}_z=H_z-T_z$$

Мы также должны вычислить длины этих векторов:

$$|\overrightarrow{ST}|=\sqrt{S{T}_x^2+S{T}_y^2+S{T}_z^2}$$
$$|\overrightarrow{TH}|=\sqrt{T{H}_x^2+T{H}_y^2+T{H}_z^2}$$

Теперь мы можем рассчитать значение $\cos (\theta )$ и затем найти угол $\theta$ с помощью обратной косинусной функции.

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{ST}\cdot \overrightarrow{TH}}{|\overrightarrow{ST}|\cdot |\overrightarrow{TH}|}$$
$$\theta =\arccos \left(\frac{\overrightarrow{ST}\cdot \overrightarrow{TH}}{|\overrightarrow{ST}|\cdot |\overrightarrow{TH}|}\right)$$

Таким образом, мы рассчитали угол $\theta$ между линиями ST и TH в кубе QWERQ1W1E1R1, используя данные о точках H, S и T, которые делят ребра QH, SQ1 и TQ1 в отношении 3/8. Ответ предоставляется в радианах, поэтому давайте переведем его в градусы, умножив на $\frac{180}{\pi }$:

$${\theta }_{\text{градусы}}={\theta }_{\text{радианы}}\cdot \frac{180}{\pi }$$

Теперь у нас есть математическое выражение, которое позволяет рассчитать итоговый угол. Вам остается только подставить значения координат рассчитать его.