Какой угол образуют ненулевые векторы p и q, если их скалярное произведение равно нулю?

Sarancha

34

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойство скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение двух векторов p и q определяется как произведение модулей этих векторов и косинуса угла между ними:

\[p \cdot q = |p| \cdot |q| \cdot \cos(\theta)\]

где \(p \cdot q\) - скалярное произведение, |p| и |q| - модули векторов p и q, а \(\theta\) - угол между векторами p и q.

В условии задачи говорится, что скалярное произведение векторов p и q равно нулю:

\[p \cdot q = 0\]

Мы можем использовать это свойство для определения угла между векторами. Запишем уравнение скалярного произведения и решим его относительно косинуса угла \(\theta\):

\[0 = |p| \cdot |q| \cdot \cos(\theta)\]

Так как модули векторов не могут быть нулевыми (ведь p и q - ненулевые векторы), то уравнение сводится к следующей форме:

\[\cos(\theta) = 0\]

Мы ищем угол между ненулевыми векторами p и q, для которых скалярное произведение равно нулю. Вспомним геометрический смысл косинуса угла: косинус угла \(\theta\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Единственное значение угла \(\theta\), для которого косинус равен нулю, это \(90^\circ\) или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

Таким образом, угол между ненулевыми векторами p и q, для которых скалярное произведение равно нулю, равен \(90^\circ\) или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

Надеюсь, это объяснение понятно для школьников. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!