Какой угол образуют прямые АВ и СD, если координаты точек А(1; 1; 5), С(8; 5; 5), В(4; 7; 5) и D(5;-1;5)?

Yazyk

57

Чтобы найти угол между прямыми AB и CD, нам необходимо использовать свойство скалярного произведения векторов. Давайте разберемся с этим пошагово.

Шаг 1: Найдите векторы AB и CD.
Для этого мы вычисляем разность координат каждой пары точек.

Вектор AB: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (4-1, 7-1, 5-5) = (3, 6, 0)\)

Вектор CD: \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = (5-8, -1-5, 5-5) = (-3, -6, 0)\)

Шаг 2: Вычислите скалярное произведение векторов AB и CD.
Скалярное произведение векторов AB и CD можно вычислить по следующей формуле:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = AB_x \cdot CD_x + AB_y \cdot CD_y + AB_z \cdot CD_z\)

Где AB_x, AB_y, AB_z - компоненты вектора AB, и CD_x, CD_y, CD_z - компоненты вектора CD.

Вычислим:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (3 \cdot -3) + (6 \cdot -6) + (0 \cdot 0) = -9 - 36 + 0 = -45\)

Шаг 3: Найдите длины векторов AB и CD.
Длина вектора AB вычисляется по формуле:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{AB_x^2 + AB_y^2 + AB_z^2}\)

Длина вектора CD вычисляется аналогичным образом:

\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{CD_x^2 + CD_y^2 + CD_z^2}\)

Вычислим:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

Шаг 4: Найдите угол между прямыми AB и CD.
Угол между векторами можно вычислить, используя следующую формулу:

\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\)

Где \(\theta\) - искомый угол.

Подставим значения и вычислим:

\(\cos(\theta) = \frac{-45}{3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{-45}{45} = -1\)

Шаг 5: Вычислите значение угла \(\theta\).
Используя таблицу значений тригонометрических функций, найдите значение угла, у которого косинус равен -1. Ответом будет угол \(\theta = \pi\) радиан, то есть 180 градусов.

Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен 180 градусов.