Какой вид имеет график функции y= (x+3)^2 -1? Какие промежутки отражают возрастание и убывание функции? Где на графике

Аделина

8

Функция \( y = (x+3)^2 - 1 \) является квадратичной функцией, приведенной к вершине формы. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

1. Раскрытие скобок:
\( y = x^2 + 6x + 9 - 1 \)
\( y = x^2 + 6x + 8 \)

2. Найдем вершину функции. Вершина квадратичной функции имеет координаты \( (h, k) \), где \( h \) - координата абсциссы вершины, а \( k \) - координата ординаты вершины. Для нашей функции, чтобы найти вершину, мы можем использовать формулы:
\( h = -\frac{b}{2a} \) и \( k = f(h) \), где \( f(h) \) представляет собой значение функции при \( h \).
В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = 6 \), а \( c = 8 \). Подставляя значения в формулу, мы имеем:
\( h = -\frac{6}{2(1)} = -3 \)
\( k = f(-3) = (-3+3)^2 - 1 = 0 - 1 = -1 \)
Таким образом, вершина функции находится в точке \((-3, -1)\).

3. Определение промежутков возрастания и убывания. Для этого нам нужно проанализировать знак производной функции. Если производная функции положительна, то функция возрастает на данном промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Найдем производную функции \( y = x^2 + 6x + 8 \):
\( y" = 2x + 6 \)

Теперь найдем значения \( x \), при которых \( y" \) равна нулю:
\( 2x + 6 = 0 \)
\( 2x = -6 \)
\( x = -3 \)

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

\[
\begin{align*}
x & < -3 & -3 & > x \\
y" & (-) & (0) & (+) \\
y & \searrow & \text{{вершина}} & \nearrow \\
\end{align*}
\]

Из таблицы видно, что функция убывает на промежутке \((-\infty, -3)\) и возрастает на промежутке \((-3, +\infty)\).

4. Определение экстремумов функции. Экстремумы - это максимумы или минимумы квадратичной функции. Вершина, которую мы нашли ранее, представляет собой минимум функции, поскольку функция возрастает до вершины и убывает после нее. Итак, экстремум функции находится в точке \((-3, -1)\) и представляет собой минимум функции.

Таким образом, график функции \(y = (x+3)^2 - 1\) имеет форму параболы, открывающейся вверх, с вершиной в точке \((-3, -1)\). Функция возрастает на промежутке \((-3, +\infty)\) и убывает на промежутке \((-\infty, -3)\). Экстремум функции находится в точке \((-3, -1)\).