Какой вид имеет график функции Y=(x-3)^2/x^2+9?

Ledyanoy_Vzryv

59

Чтобы определить тип графика функции Y=(x-3)^2/x^2+9, мы должны проанализировать ее поведение и особенности.

Давайте начнем пошагово:

Шаг 1: Найдем область определения функции
Область определения функции определяется значениями x, для которых функция определена. Однако, в данной функции, мы видим знаменатель x^2+9. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому мы должны исключить значения x, при которых x^2+9=0.
Так как x^2+9=0 не имеет решений в действительных числах (так как квадрат не может быть отрицательным), область определения этой функции составляет все действительные числа x.

Шаг 2: Найдем точки пересечения с осями координат
Чтобы найти точки пересечения с осями координат, необходимо найти значения функции Y при x=0 и y=0.
Подставим x=0 в данную функцию:
Y=(0-3)^2/0^2+9 = 9/9 = 1
Таким образом, у нас есть точка пересечения с осью ординат (ось y) в точке (0, 1).

Подставим y=0 в данную функцию:
0=(x-3)^2/x^2+9
(x-3)^2/x^2+9 = 0
Так как квадрат не может быть отрицательным, то (x-3)^2>0 в любом случае.
Это означает, что уравнение не имеет решений для y=0, поэтому график не пересекает ось абсцисс (ось x).

Шаг 3: Анализ поведения функции при x->±∞
Чтобы понять, как функция ведет себя при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности, рассмотрим предел функции.
Определим пределы функции, когда x стремится к плюс и минус бесконечности:
\[\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}}\]
\[\lim_{{x \to -\infty}} \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}}\]

Вычислим пределы:
\[\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}} = \frac{{+\infty}}{{+\infty}}\]
\[\lim_{{x \to -\infty}} \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}} = \frac{{+\infty}}{{+\infty}}\]

Получилось неопределенное выражение в обоих случаях. Чтобы понять, как функция ведет себя, нам нужно проанализировать ее поведение в других точках.

Шаг 4: Найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты
Из анализа поведения функции при x->±∞ мы можем заключить, что у нее нет вертикальных асимптот. Функция не стремится к конкретному значению при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.

Чтобы найти горизонтальные асимптоты, нужно проанализировать поведение функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности.

Определим пределы функции, когда x стремится к плюс и минус бесконечности:
\[\lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}} \right) = \lim_{{x \to +\infty}} \left( \frac{{x^2-6x+9}}{{x^2+9}} \right) = \lim_{{x \to +\infty}} \left( 1 - \frac{{6x}}{{x^2+9}} + \frac{{9}}{{x^2+9}} \right) = 1\]
\[\lim_{{x \to -\infty}} \left( \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}} \right) = \lim_{{x \to -\infty}} \left( \frac{{x^2-6x+9}}{{x^2+9}} \right) = \lim_{{x \to -\infty}} \left( 1 - \frac{{6x}}{{x^2+9}} + \frac{{9}}{{x^2+9}} \right) = 1\]

Так как пределы равны 1 в обоих случаях, у нас есть две горизонтальные асимптоты -- y=1 и y=-1. График функции будет стремиться к этим значениям, приближаясь к ним, но никогда не пересекая их.

Шаг 5: Найдем вершину параболы
Чтобы найти вершину параболы, мы должны найти критические точки функции. Для этого вычислим производную функции и найдем ее корни.

\[Y = \frac{{(x-3)^2}}{{x^2+9}}\]
\[Y" = \frac{{2(x-3)(x^2+9) - (x-3)^2(2x)}}{{(x^2+9)^2}}\]
\[Y" = \frac{{2(x-3)x^2+18x(x-3) - 2(x-3)^2x}}{{(x^2+9)^2}}\]
\[Y" = \frac{{2x^3-6x^2+18x^2-54x - 2x^3 + 6x^2 - 2x^3 + 6x^2}}{{(x^2+9)^2}}\]
\[Y" = \frac{{8x^2-54x}}{{(x^2+9)^2}}\]
\[8x^2-54x = 0\]
\[2x(4x-27) = 0\]
\[x = 0\] или \[x = \frac{{27}}{{4}}\]

Теперь найдем значения y при найденных x-координатах:
\[Y(0) = \frac{{(0-3)^2}}{{0^2+9}} = \frac{{9}}{{9}} = 1\]
\[Y\left(\frac{{27}}{{4}}\right) = \frac{{\left(\frac{{27}}{{4}}-3\right)^2}}{{\left(\frac{{27}}{{4}}\right)^2+9}} = \frac{{\left(\frac{{27-12}}{{4}}\right)^2}}{{\left(\frac{{729}}{{16}}\right)+9}} = \frac{{\left(\frac{{15}}{{4}}\right)^2}}{{\frac{{729+144}}{{16}}}} = \frac{{\frac{{225}}{{16}}}}{{\frac{{873}}{{16}}}} = \frac{{225}}{{873}}\]

Таким образом, мы получаем две точки вершины параболы на графике: (0, 1) и \(\left(\frac{{27}}{{4}}, \frac{{225}}{{873}}\right)\)

Шаг 6: Строим график
Теперь, когда мы нашли все необходимые характеристики функции, мы можем построить график.
График будет иметь форму параболы с вершиной в точке (0, 1) и проходящей через точку \(\left(\frac{{27}}{{4}}, \frac{{225}}{{873}}\right)\).
Он будет стремиться к горизонтальным асимптотам y=1 и y=-1, но никогда их не пересечет. График не пересекает ось x.

На этом наш анализ графика функции Y=(x-3)^2/x^2+9 завершен. Если у вас возникли еще вопросы или нужно что-то прояснить, пожалуйста, обращайтесь!