Какова длина стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, вписанной в квадрат со стороной

Magnitnyy_Magistr

62

Для начала, нам нужно определить радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной \(s\).

Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине длины стороны квадрата. То есть, \(r = \frac{s}{2}\).

Теперь нам нужно найти длину стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг этой окружности.

Для этого нам понадобится знать, что каждый угол внутри правильного шестиугольника равен 120 градусам. Это следует из того факта, что сумма углов внутри правильного \(n\)-угольника равна \((n-2) \cdot 180^\circ\).

Разделим правильный шестиугольник на шесть равносторонних треугольников. Каждый треугольник имеет угол при основании, равный 120 градусам.

Так как треугольник равносторонний, значит у него все стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как \(x\).

Теперь используем теорему косинусов, чтобы найти длину стороны шестиугольника.

В треугольнике с углом 120 градусов и равными сторонами, можно использовать косинусную формулу:

\[x^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120^\circ)\]

Раскроем угол \(120^\circ\) в формуле:

\[x^2 = 2 \cdot r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \frac{-1}{2}\]
\[x^2 = 2 \cdot r^2 + r^2\]
\[x^2 = 3 \cdot r^2\]

Теперь мы можем найти значение \(x\):

\[x = \sqrt{3} \cdot r\]

Так как мы знаем, что радиус вписанной окружности равен половине длины стороны квадрата (\(r = \frac{s}{2}\)), то мы можем подставить это значение:

\[x = \sqrt{3} \cdot \frac{s}{2}\]

Поэтому длина стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, вписанной в квадрат со стороной \(s\), равна \(\sqrt{3} \cdot \frac{s}{2}\).