Какой является самым отрицательным корнем уравнения sin пи (5х +15)/6 = 1/2?

Nikolay_9523

31

Давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с исходного уравнения: \(\sin\left(\frac{\pi}{6}(5x+15)\right) = \frac{1}{2}\).

2. Заметим, что мы имеем тригонометрическую функцию \(\sin\) и известное значение \(\frac{1}{2}\). Значение \(\frac{1}{2}\) соответствует углу \(\frac{\pi}{6}\) в стандартной тригонометрической окружности.

3. Чтобы найти значения переменной \(x\), мы должны найти все углы, удовлетворяющие условию \(\frac{\pi}{6}(5x+15) = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(\frac{\pi}{6}(5x+15) = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

4. Для первого случая мы получаем \(\frac{5x+15}{6} = 1 + 12k\), где \(k\) - целое число. Путем решения этого уравнения получаем \(x = \frac{-15 + 72k}{5}\).

5. Для второго случая мы получаем \(\frac{5x+15}{6} = -1 + 12k\), где \(k\) - целое число. Путем решения этого уравнения получаем \(x = \frac{-45 + 72k}{5}\).

6. Чтобы найти наименьший корень \(x\), нам нужно найти наименьшее значение \(k\) такое, что \(x\) будет отрицательным.

7. Исходя из анализа нашего решения, мы понимаем, что наименьшее значение \(k\), при котором \(x\) будет отрицательным, равно -1.

8. Подставим \(k = -1\) в полученные уравнения для \(x\), и получим \(x = \frac{-15 + 72(-1)}{5} = \frac{-87}{5}\) и \(x = \frac{-45 + 72(-1)}{5} = \frac{-117}{5}\).

9. Таким образом, самым отрицательным корнем уравнения \(\sin\left(\frac{\pi}{6}(5x+15)\right) = \frac{1}{2}\) является \(x = \frac{-117}{5}\).